Парус Клейна и диофантовы приближения вектора

В основанных на идеях Пуанкаре и Клейна работах В. И. Арнольда и его последователей многомерной цепной дробью назывался парус Клейна, который связывался с оператором в $\mathbb R^n$. В его терминах формулировались многомерные обобщения теоремы Лагранжа о цепных дробях. Другие попытки обобщения цепных дробей опирались на модификации алгоритма Евклида построения последовательности рациональных векторов, аппроксимирующих заданный $n$-мерный вектор.
Мы предлагаем модификацию паруса Клейна, построенную непосредственно по иррациональному вектору (минуя оператор). Предложена числовая характеристика паруса Клейна – асимптотическая анизотропия, связанная с однопараметрической группой преобразований решетки и соответствующей деформацией ячейки Вороного. С этой характеристикой связана надежда дать геометрическую характеризацию иррациональных векторов, хуже всего аппроксимируемых рациональными. В трехмерном пространстве предложен вектор (связанный с наименьшим числом Пизо–Виджаярагхавана) – кандидат на эту роль. Его можно считать аналогом золотого сечения, экстремально плохо приближаемого числа в классической теории диофантовых приближений. Обсуждаются и другие подходы, которые могут оказаться полезными для поиска экстремально плохо приближаемых векторов. Библ. – 18 назв.