Вложение элементарной сети в промежуток сетей

Пусть $R$ – произвольное коммутативное кольцо с единицей, $n$ – натуральное число, $n\geq 2$. Система $ \sigma = (\sigma_{ij})$, $ 1\leq{i, j} \leq{n} $, аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ кольца $R$ называется сетью (ковром) над кольцом $R$ порядка $n$, если $ \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i, r, j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер). Предположим, что $n\geq 3$. Рассмотрим набор $\omega = (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп $\omega_{ij}$ кольца $R$, определенных для любых $i\neq{j}$ следующим образом: $ \omega_{ij} = \sum\limits_{k=1}^{n}\sigma_{ik}\sigma_{kj},$ где суммирование берется по всем $k$, отличным от $i$ и $j$. Набор $\omega = (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп $\omega_{ij}$ кольца $R$ является элементарной сетью, которую мы называем элементарной производной сетью. Диагональ производной сети $\omega$ определим формулой $ \omega_{ii}=\sum\limits_{k\neq s}\sigma_{ik}\sigma_{ks}\sigma_{si}$ $(1\leq i\leq n)$, где суммирование ведется по всем $1 \leq{k\neq{s}}\leq{n} $. Доказан следующий результат. Элементарная сеть $\sigma$ индуцирует производную сеть $\omega=(\omega_{ij}) $ и сеть $\Omega=(\Omega_{ij})$, ассоциированную с элементарной группой $E(\sigma)$, причем $ \omega\subseteq \sigma \subseteq \Omega$, $ \omega_{ir}\Omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$, $\Omega_{ir}\omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$ $(1\leq i, r, j\leq n). $ В частности, матричное кольцо $M(\omega)$ является двустонним идеалом кольца $M(\Omega)$. Для сетей порядка $n=3$ дается существенное уточнение. Библ. – 7 назв.