Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations

Выразив отношение длины лемнискаты Бернулли к длине описывающей её концентрической окружности, как величину, обратную арифметико-геометрическому среднему чисел $1$ и $\sqrt{2}$, Гаусс записал в своём дневнике 30 мая 1799 года, что тем самым зарождается “совершенно новая область анализа”. Однако, вплоть до наших дней, изучение эллиптических функций (и кривых) основывается на двух традиционных подходах (а именно, на подходах Якоби и Вейерштрасса), а не на одном объединяющим подходе. Замена искусственной дихотомии методологически обоснованным объединяющим подходом не только способствует яркому переосмыслению классических результатов, но и позволяет проводить новые вычисления, которые казались либо недосягаемыми, либо чрезмерно громоздкими для осуществления. Мы выведем легко проверяемые явные формулы для проведения высокоэффективной арифметики на комплексных проективных эллиптических кривых. Также установив явную связь между вычислением корней модулярного уравнения уровня $p$ с вычислением точек $p$-кручения на соответствующей эллиптической кривой, мы вновь выведем на свет непревзойдённый и далеко не полностью оценённый, исключительный вклад Галуа. Библ. – 19 назв.