О скорости стремления к нулю масштабирующей функции Мейера

Масштабирующей функцией Мейера называют такую функцию
$$\varphi\colon\Bbb R\to\Bbb R, $$
целочисленные сдвиги которой $\varphi(\cdot+n)$, $n \in \Bbb Z$, ортонормированы в $L_2(\Bbb R)$, а преобразование Фурье $\widehat{\varphi}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\mathbb R}\varphi(t)e^{-iyt} dt$ имеет вид: $\widehat{\varphi}$ четна, $\widehat{\varphi}=0$ вне $[-\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon]$, $\widehat{\varphi}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ на $[-\pi+\varepsilon,\pi-\varepsilon]$, где $\varepsilon\in\bigl(0,\frac{\pi}{3}\bigr]$. Основной результат работы следующий. Пусть $\omega\colon[0, +\infty) \to [0,+\infty)$, функция $\frac{\omega(x)}{x}$ убывает. Тогда следующие утверждения равносильны. 1. Для любого (или, что равносильно, для некоторого) $\varepsilon\in(0,\frac{\pi}{3}]$ существуют $x_0>0$ и масштабирующая функция Мейера $\varphi$, такая что $\widehat{\varphi}=0$ вне $[-\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon]$ и $|\varphi(x)|\leqslant e^{-\omega(|x|)}$ при всех $|x|>x_0$. 2. $\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\omega(x)}{x^2} dx<+\infty$. Библ. – 11 назв.