Дискретные внутренние объемы и валюации Грассмана
М. К. Досполова Международный математический институт им. Леонарда Эйлера, С.-Петербург, Россия
Аннотация:
Для выпуклого решетчатого многогранника
$ P \subset \mathbb R ^ d $ размерности
$ d $ с вершинами в
$ \mathbb Z ^ d $ обозначим через
$ L (P) $ его дискретный объем, который определяется как число целых точек, лежащих в
$ P $. Знаменитая теорема Эрхарта гласит, что для натурального числа
$ n $ функция
$ L (nP) $ является многочленом от
$ n $ степени
$ d $, старший коэффициент которого равен объему
$ P $. В частности,
$ L (nP) $ аппроксимирует объем
$ nP $ при больших
$ n $. В выпуклой геометрии одним из центральных понятий, обобщающих объем, являются внутренние объемы. Основная цель данной статьи – ввести и рассмотреть их дискретные аналоги. В частности, мы покажем, что для них справедлив аналог результата Эрхарта, где объем заменяется внутренним объемом. Кроме того, в статье введено и изучено понятие валюации Грассмана, которое обобщает как дискретный объем, так и валюацию телесного угла, введенную Ривом и Макдональдом. Библ. – 19 назв.
Ключевые слова:
Решетчатый многогранник, дискретный объем, внутренний объем, дискретный внутренний объем, конический внутренний объем, угол Грассмана, многочлен Эрхарта, многочлен Макдональда, тетраэдр Рива, телесный угол, валюация.
УДК:
519.2 Поступило: 08.11.2021