RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Записки научных семинаров ПОМИ // Архив

Зап. научн. сем. ПОМИ, 2021, том 505, страницы 94–137 (Mi znsl7126)

Дискретные внутренние объемы и валюации Грассмана

М. К. Досполова

Международный математический институт им. Леонарда Эйлера, С.-Петербург, Россия

Аннотация: Для выпуклого решетчатого многогранника $ P \subset \mathbb R ^ d $ размерности $ d $ с вершинами в $ \mathbb Z ^ d $ обозначим через $ L (P) $ его дискретный объем, который определяется как число целых точек, лежащих в $ P $. Знаменитая теорема Эрхарта гласит, что для натурального числа $ n $ функция $ L (nP) $ является многочленом от $ n $ степени $ d $, старший коэффициент которого равен объему $ P $. В частности, $ L (nP) $ аппроксимирует объем $ nP $ при больших $ n $. В выпуклой геометрии одним из центральных понятий, обобщающих объем, являются внутренние объемы. Основная цель данной статьи – ввести и рассмотреть их дискретные аналоги. В частности, мы покажем, что для них справедлив аналог результата Эрхарта, где объем заменяется внутренним объемом. Кроме того, в статье введено и изучено понятие валюации Грассмана, которое обобщает как дискретный объем, так и валюацию телесного угла, введенную Ривом и Макдональдом. Библ. – 19 назв.

Ключевые слова: Решетчатый многогранник, дискретный объем, внутренний объем, дискретный внутренний объем, конический внутренний объем, угол Грассмана, многочлен Эрхарта, многочлен Макдональда, тетраэдр Рива, телесный угол, валюация.

УДК: 519.2

Поступило: 08.11.2021



© МИАН, 2024