Среднее расстояние между случайными точками на границе выпуклой фигуры

Рассмотрим выпуклую фигуру $K$ на плоскости. Пусть $\theta(K)$ обозначает среднее расстояние между двумя случайными точками, независимо и равномерно выбранными на границе $K$. Основной результат заметки состоит в том, что среди всех выпуклых фигур фиксированного периметра максимальное значение $\theta(K)$ достигается у круга и только у него. Также доказана непрерывность $\theta(K)$ в метрике Хаусдорфа. Библ. – 5 назв.