Оценки устойчивости по количеству слагаемых для распределений последовательных сумм независимых одинаково распределенных векторов

Пусть $X_1,\dots, X_n,\dots$ – независимые одинаково распределенные $d$-мерные случайные векторы с общим распределением $F$. Тогда $S_n = X_1+\dots+X_n$ имеет распределение $F^n$ (степень понимается в смысле свертки). Пусть
$$ \rho(F,G) = \sup_A |F\{A\} - G\{A\}|, $$
где верхняя грань берется по всем выпуклым подмножествам $\mathbf R^d$. Основной результат следующий. Для любого нетривиального распределения $F$ существует $c_1(F)$, такое что
$$ \rho(F^n, F^{n+1})\leq \frac{c_1(F)}{\sqrt n} $$
для любого натурального $n$. Распределение $F$ считается тривиальным, если оно сосредоточено на гиперплоскости, не содержащей начала координат. Очевидно, что для таких $F$
$$ \rho(F^n, F^{n+1}) = 1.$$
Сформулирован также аналогичный результат для расстояния Прохорова. Для любого $d$-мерного распределения $F$ найдется величина $c_2(F)$, зависящая только от $F$ и такая что
\begin{multline} (F^n)\{A\}\le (F^{n+1})\{A^{c_2(F)}\}+\frac{c_2(F)}{\sqrt{n}}\\ \text{ и } (F^{n+1})\{A\}\leq (F^n)\{A^{c_2(F)}\}+\frac{c_2(F)}{\sqrt{n}} \end{multline}
для любого борелевского множества $ A $ при всех натуральных $n$. Библ. – 16 назв.