К тауберовой теореме Келдыша

В статье приводятся новые варианты тауберовой теоремы Келдыша. В частности, доказывается следующее.
Теорема. {\it Пусть $m>-1$ – некоторое вещественное число, $\varphi$ и $\psi$ – положительные измеримые функции на полуоси $[0,\infty)$, удовлетворяющие условиям:
{\rm1)} $\varphi(r_n)\ne0,\quad \psi(R_n)\ne0$ для некоторых бесконечно больших последовательностей,
{\rm2)} $\min(\alpha(\varphi),\alpha(\psi))<m$,
{\rm3)} функции
$$ \Phi(r)=\int\limits_0^\infty\frac{\varphi(ur)\,du}{(1+u)^{m+1}},\quad \Psi(r)=\int\limits_0^\infty \frac{\psi(ur)\,du}{(1+u)^{m+1}} $$
конечны и эквивалентны в бесконечности. Тогда первообразные функций $\varphi$ и $\psi$, равные нулю в нуле, эквивалентны в бесконечности.}
В этой теореме тауберовы условия сведены к необходимому минимуму – $\min(\alpha(\varphi),\alpha(\psi))<m$, где через $\alpha(f)$ обозначается верхний индекс Матушевской функции $f$, который можно определять формулой (имеются и другие определения)
$$ \alpha(f)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow\infty}\frac{\ln{\mathop{\overline{\lim}} \limits_{r\rightarrow\infty}\frac{f(\lambda r)}{f(r)}}}{\ln\lambda}. $$

Доказываются теоремы, где утверждается эквивалентность самих функций $\varphi$ и $\psi$. Библ. – 14 назв.