Chevalley groups over Laurent polynomial rings

Пусть $G$ – односвязная групповая схема Шевалле–Демазюра, не содержащая сомножителей вида $\mathrm{SL}_2$. Для любого коммутативного кольца $R$ с единицей обозначим через $E(R)$ стандартную элементарную подгруппу $G(R)$, т.е. подгруппу, порожденную элементарными корневыми унипотентами. Пусть $K_1^G(R)=G(R)/E(R)$. Мы доказываем, что естественное отображение
$$ K_1^G(R[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}])\to K_1^G\bigl(R((x_1))\ldots((x_n))\bigr) $$
инъективно для любого $n\ge 1$, при условии, что $R$ – дедекиндово кольцо или нетерово кольцо, геометрически регулярное над дедекиндовым кольцом с совершенными полями вычетов. При $n=1$ это отображение является, более того, изоморфизмом. Как следствие, мы доказываем, что если $D$ – кольцо главных идеалов, удовлетворяющее $SL_2(D)=E_2(D)$ (например, $D=\mathbb{Z}$), то
$$G(D[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}])=E(D[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}]). $$
Это обобщает предшествующие результаты А. А. Суслина и В. И. Копейко для специальных линейных и симплектических групп. Библ. – 23 назв.