Распределение целых точек на гиперболоидах

Рассмотрим $\Omega_0$ – область на гиперболоиде $1=b^2+ac$, задаваемую условиями
$$ 0<L_1\le a\le L_2<1,\quad 0<t_1\le\frac ba\le t_2<1. $$
Пусть $r(n,\Omega_0)$ – число целых точек $(a,b,c)$ на гиперболоиде $n=b^2+ac$ (целое $n>0$) таких, что $(a,b,c)/\sqrt n\in\Omega_0$. Е. П. Голубева [Мат. сб.  123, №. 4} (1984), 510–533] доказала, что при $n=P^2$ ($P$ – простое число) \[ r(P^2,\Omega_0)=C(t_2-t_1)(L_2-L_1)P\log p+BP+O(P\log^{-\gamma}P), \tag{1} \] где $C,B,\gamma$ – константы, причем $C>0$, $0<\gamma\le1$, $P\to\infty$. Рассмотрим аналогичную задачу с дополнительным условием $a=p$ (простое число). Введем обозначение
$$ r(P^2,\Omega_0)_{pr}=\sum_{\substack{L_1P\le p\le L_2P\\P^2=b^2+pc}} \sum_{t_1\le b/P\le t_2}1. $$
Доказана теорема: пусть $\varepsilon$ – любое. Тогда при $P>P(\varepsilon)$
$$ (K-\Delta-\varepsilon)\frac P{\log P}\le r(P^2,\Omega_0)_{pr}\le(K+\Delta+\varepsilon) \frac P{\log P}, $$
где
$$ K=2(t_2-t_1)(L_2-L_1),\quad\Delta=L^2_2\cdot\frac{2\pi}3. $$
Следствие: при $(t_2-t_1)(L_2-L_1)>L^2_2\cdot\frac\pi3$
$$ r(P^2,\Omega_0)_{pr}\asymp\frac P{\log P}\quad (P\to\infty). $$

Обсуждается также возможность получения асимптотики (1) с помощью оценок суммы типа суммы сумм Cалье. Библ. – 10 назв.