Точная постоянная в неравенстве типа Джексона для приближения линейными положительными операторами

Пусть $C$ – пространство $2\pi$-периодических непрерывных вещественнозначных функций с равномерной нормой, $\omega(f,h)=\sup\limits_{|t|\le{h},x\in\mathbb R}|f(x+t)-f(x)|$ – модуль непрерывности функции $f\in C$ с шагом $h$, $H_n$ – множество тригонометрических многочленов порядка не выше $n$, ${\mathscr L}_n^+$ – множество линейных положительных операторов $U_n:C\to H_n$ (т.е. таких, что $U_n(f)\ge0$ для всех $f\ge0$), $L_2[\,0,1]$ – пространство суммируемых с квадратом на $[0,1]$ функций,
$$ \lambda_n(\gamma)=\inf_{U_n\in{\mathscr L}_n^+}\,\sup_{f\in C}\frac{\|f-U_n(f)\|}{\omega(f,\frac{\gamma\pi}{n+1})}, \qquad \lambda(\gamma)=\sup_{n\in\mathbb Z_+}\lambda_n(\gamma). $$

Доказано, что величина $\lambda_n(\gamma)$ совпадает с наименьшим собственным числом некоторой матрицы порядка $n+1$. Основной результат статьи следующий: при всех $\gamma>0$ величина $\lambda(\gamma)$ не превосходит, а при $\gamma\in(0,1]$ равняется минимуму квадратичного функционала
$$ (B_{\gamma}\varphi,\varphi)=\frac1\pi\int\limits_0^{\infty}\biggl(1+ \biggl[\frac{t}{\gamma\pi}\biggr]\biggr) \Biggl|\int\limits_0^1\varphi(x)e^{itx}\,dx\Biggr|^2dt $$
на единичной сфере пространства $L_2[0,1]$. Вычислено, что $\lambda(1)=1{,}312\ldots$. Библ. – 19 назв.