Exponentially small splitting of separatrices for whiskered tori in Hamiltonian systems

Изучается существование трансверсальных гомоклинических орбит для динамических систем с сингулярным или слабо гиперболичным гамильтонианом с тремя степенями свободы, как модель поведения для почти-интегрируемого гамильтониана около простого резонанса.
Рассмотрен пример, состоящий из интегрируемой гамильтоновой системы, обладающей двумерным гиперболическим инвариантным тором и совпадающими усами или сепаратрисами, и возмущения порядка $\mu=\varepsilon^p$, приводящего к экспоненциально малому расщеплению сепаратрис.
Показано, что асимптотические оценки для трансверсальности пересечений могут быть получены, если $\omega$ удовлетворяет некоторым арифметическим свойствам. Более точно, предполагается, что $\omega$ есть квадратичный вектор (то есть, отношение частот есть квадратическое иррациональное число), который обобщает хорошие арифметические свойства золотого вектора.
Получено достаточное условие на квадратичный вектор $\omega$, обеспечивающее примененимость метода Пуанкаре–Мельникова (использованного для золотого вектора в предыдущей работе) для доказательства существования трансверсальных гомоклинических орбит и в более частном случае для их продолжения на все значения $\varepsilon\to0$. Библ. – 22 назв.