Применение метода мультиполей к прямым и обратным задачам для уравнения Грэда–Шафранова с нелокальным условием

В плоских односвязных областях с кусочно-гладкой границей $\Gamma$ рассматриваются две однородные задачи Дирихле для уравнения Грэда–Шафранова с аффинной правой частью, обозначаемые $(\mathfrak{D})$ и $(\mathfrak{U})$, вторая из которых содержит нелокальное условие. Рассматриваются также соответствующие обратные задачи $(\mathfrak{D}^{-1})$ и $(\mathfrak{U}^{-1})$, заключающиеся в нахождении неизвестных параметров правой части уравнения по информации о нормальной производной решения прямых задач. Указанные задачи возникают при расчете характеристик потока плазмы в токамаке.
В работе установлено, что эти параметры могут быть найдены по двум заданным величинам: 1) значению нормальной производной соответствующей прямой задачи, физически означающей величину магнитного поля в любой одной точке $\tilde{x}$ из специального подмножества $\tilde{\Gamma}$ границы $\Gamma$ и 2) интегралу по $\Gamma$ от нормальной производной, физически означающему величину полного тока, проходящего по сечению токамака. Установлено, что обе задачи однозначно разрешимы, и указаны необходимые и достаточные для этого условия. Предложен метод нахождения искомых параметров, включающий способ отыскания подмножества $\tilde{\Gamma}$. Полученные результаты базируются, во-первых, на методе мультиполей, обеспечивающем высокоточное вычисление нормальных производных решения прямых задач $(\mathfrak{D})$ и $(\mathfrak{U})$, и, во-вторых, на найденных асимптотиках для этих производных при стремлении к $\infty$ одного из параметров правой части уравнения. Библ. 82. Фиг. 26.