Resolving sequences of operators for linear ordinary differential and difference systems of arbitrary order

Вводится понятие разрешающей последовательности скалярных операторов для заданной линейной системы дифференциальных или разностных уравнений с коэффициентами в дифференциальном или разностном поле $\mathbb{K}$ характеристики $0$. Если неизвестными системы являются $y_1,\dots,y_m$, то имеется в виду такая конечная последовательность $L_1,\dots,L_p$ скалярных операторов с коэффициентами в $\mathbb{K}$, что для некоторых фиксированных индексов $l_1,\dots,l_p$, во-первых, из $y_{l_1}=\dots=y_{l_j}=0$ при $j < p$ следует, что $L_{j + 1}(y_{l_{j+1}}) = 0$ и, во-вторых, из $y_{l_1}=\dots=y_{l_p}=0$ следуют равенства $y_1 = y_2 = \dots = y_m = 0$. Заданная система полного ранга может иметь произвольный порядок. При этом ведущая матрица системы может быть вырожденной. В последнем случае система не может быть приведена к эквивалентной нормальной системе первого порядка $y'(x) = A(x)y(x)$ или $y(x + 1) = A(x)y(x)$, где $A(x)$ — квадратная матрица с элементами в $\mathbb{K}$, $y(x)$ — столбец неизвестных.
Предлагается компьютерно-алгебраический алгоритм построения разрешающей последовательности. Он положен в основу алгоритмов нахождения гипергеометрических решений разностных систем и формальных экспоненциально-логарифмических решений дифференциальных систем; в обоих случаях предполагается, что в роли $\mathbb{K}$ выступает поле рациональных функций. Привлечение так называемых охватывающих систем позволяет преодолеть трудности, связанные с возможной вырожденностью ведущей матрицы системы.
Проводится сравнительный анализ времени работы предложенных алгоритмов поиска решений и аналогичных алгоритмов, основанных на понятии циклического вектора. Таблица результатов экспериментов показывает преимущество по скорости новых алгоритмов: при этом надо добавить, что циклический вектор может быть использован только в случае нормальных систем первого порядка, а для случая систем порядка выше первого этот подход не работает. Описывается компьютерная реализация предложенных алгоритмов в среде Мейпл. Программный код находится в открытом доступе:
http://www.ccas.ru/ca/doku.php/resolvingsequence — построение разрешающей последовательности операторов для системы;
http://www.ccas.ru/ca/doku.php/lrs — построение базиса пространства гипергеометрических решений для разностной системы;
http://www.ccas.ru/ca/doku.php/formalsolution — построение базиса пространства формальных экспоненциально-логарифмических решений для дифференциальной системы. Библ. 29. Табл. 1.