Разностная схема для начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения переноса

На множестве $\overline{G}=G\cup S$, где $\overline{G}=\overline{D}\times[0\leqslant t\leqslant T]$, $\overline{D}=\{0\leqslant x\leqslant d\}$, $S = S^l\cup S$, $S^l$ и $S_0$ — боковая и нижняя части границы $S$, рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного уравнения переноса с возмущающим параметром $\varepsilon$ при пространственной производной; параметр $\varepsilon$ принимает произвольные значения из полуинтервала $(0,1]$. В отличие от известной задачи для регулярного уравнения переноса, в этой задаче при малых значениях параметра $\varepsilon$ в окрестности боковой границы $S^l$ появляется пограничный слой ширины $O(\varepsilon)$, на котором решение задачи изменяется на конечную величину. Для этой сингулярно возмущенной задачи решение стандартной разностной схемы на равномерной сетке не сходится $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме; сходимость имеет место лишь при условии $h=dN^{-1}\ll\varepsilon$, $N_0^{-1}\ll 1$, где $N$ и $N_0$ — число сеточных интервалов сеток по $x$ и $t$ соответственно, $h$ — шаг сетки по $x$. Для рассматриваемой задачи строится декомпозиция решения в виде суммы регулярной и сингулярной компонент решения. С учетом поведения сингулярной компоненты решения строится специальная разностная схема на сетке Шишкина — кусочно-равномерной по $x$ и равномерной по $t$. На такой сетке монотонная разностная схема для начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения переноса сходится $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме со скоростью $\mathcal{O}(N^{-1}+N_0^{-1})$. Библ. 12.