Аналитико-численный метод решения задачи типа Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в океане

Работа посвящена исследованию спектральной задачи на основе уравнения эволюции потенциального вихря в квазигеострофическом приближении с целью изучения устойчивых и неустойчивых возмущений океанских течений. Задача сводится к решению несамосопряженного дифференциального уравнения 4-го порядка, содержащего малый параметр при старшей производной и включающего несколько безразмерных физических параметров. Особенностью задачи является вхождение спектрального параметра как в уравнение, так и в краевые условия для 3-й производной. Рассматривается два варианта задачи, включающей краевое условие в виде равенства нулю самой функции, либо ее второй производной. Для решения задачи построен эффективный аналитико-численный метод расчета четных и нечетных функций, использующий степенные разложения решения в граничной и центральной точках слоя. Условие согласования разложений в некоторой внутренней точке дает уравнение для искомого спектра задачи.
Исследованы асимптотические разложения решений и собственных значений (СЗ) при малых значениях волнового числа $k$. Получено, что в задаче для четных и нечетных решений с краевым условием для второй производной существует одно конечное СЗ и счетное множество неограниченно растущих СЗ при $k\to 0$. В задаче с краевым условием для функции существует лишь счетное множество неограниченно растущих СЗ при $k\to 0$. Приведены численные данные расчета СЗ при различных параметрах задачи, которые показали, что течение может быть неустойчиво в широком диапазоне изменения волнового числа $k$. Библ. 15. Фиг. 10.