О задаче Томаса–Ферми и о решениях уравнения Эмдена–Фаулера

Рассмотрена двухточечная краевая задача для уравнения Эмдена–Фаулера — сингулярного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. При условии рациональности показателя степени в коэффициенте при нелинейном членe получены новые параметрические представления решения краевой задачи на луче и на отрезке. Для задачи на луче дана новая эффективная формула первого члена известного разложения Коулсона–Марча решения в окрестности бесконечности, получены обобщения этого представления и его аналоги для функции, обратной к решению. Для модели Томаса–Ферми многоэлектронного атома и положительно заряженного иона построены высокоэффективные вычислительные алгоритмы, позволяющие, в частности, найти решение задачи для атома (т.е. краевой задачи на луче) вместе с производной этого решения с любой заданной точностью в произвольной точке полупрямой. В основе полученных результатов лежит аналитическое свойство уравнения Абеля II рода специального вида, к которому приводится исходное уравнение Эмдена–Фаулера, а именно — свойство частичного прохождения модифицированного теста Пенлеве в узловой особой точке. Библ. 57. Фиг. 4. Табл. 2.