Безрисковые инвестиции и их сравнение с простыми рисковыми стратегиями в модели пенсионного страхования: решение сингулярных задач для интегродифференциальных уравнений

Изучается коллективная модель пенсионного страхования (пожизненной ренты) с учетом безрисковых инвестиций, когда весь резерв страховой компании в каждый момент времени инвестируется в безрисковый актив (банковский счет). Дается сравнение этой стратегии с изученными ранее простыми рисковыми стратегиями инвестиций, при которых, независимо от размера резерва страховой компании, в каждый момент времени постоянную положительную долю этого резерва составляют рисковые активы (акции), а оставшаяся доля инвестируется в банковский счет. Сравнение стратегий основывается на традиционном критерии платежеспособности – вероятности неразорения. Исходная модель страхования является дуальной по отношению к классической модели Крамéра–Лундберга: изменение капитала по портфелю однотипных договоров описывается суммой убывающей детерминированной линейной функции, отвечающей выплате суммарных пенсий, и составного пуассоновского процесса с положительными скачками, соответствующими доходам, получаемым страховой компанией в моменты передачи собственности страхователей. При экспоненциальном распределении размеров скачков показано, что в случае безрисковых инвестиций вероятность неразорения как функция начального капитала, определенная на неотрицательной вещественной полуоси, является решением сингулярной задачи для интегродифференциального уравнения c невольтерровым интегральным оператором. Получено решение поставленной задачи, проведено аналитическое исследование его свойств, приводятся численные примеры. На примерах дается сравнение влияния рисковых и безрисковых инвестиций на вероятность неразорения в данной модели. Библ. 17. Фиг. 11.