Бигармоническая задача с препятствием: гарантированные и вычисляемые оценки ошибок для приближенных решений

В статье рассматривается эллиптическое вариационное неравенство, возникающее в задаче с препятствием для бигармонического оператора. Изучаются оценки разности между точным решением (минимайзером) соответствующей вариационной задачи и произвольной функцией из энергетического класса, которая удовлетворяет поставленным краевым условиям и ограничениям, связанным с препятствием. Используя общую теорию, построенную для выпуклых вариационных задач, получено тождество, одна часть которого характеризует величину отклонения функции (аппроксимации) от точного решения, а другая является вычисляемой величиной (она зависит только от данных задачи и известных функций). Использование этого тождества в практических вычислениях позволяет оценить качество полученных приближенных решений. Использующаяся в тождестве мера отклонения от точного решения содержит различные слагаемые. Два из них задаются нормами разности между точными решениями прямой и двойственной вариационных задач и их аппроксимациями соответственно. Два других, вообще говоря, не представимы в виде норм и являются нелинейными мерами, которые обращаются в ноль, если коинцедентное множество, построенное по приближенному решению, удовлетворяет некоторым условиям (например совпадает с точным коинцедентным множеством). Тождество верно для любых допустимых (конформных) аппроксимаций прямой переменной, но содержит некоторые ограничения на двойственную переменную. В статье показано, что эти ограничения могут быть сняты, но при этом тождество заменяется на неравенство. Последнее дает явно вычисляемую мажоранту величины отклонения от точного решения данной нелинейной задачи для любых аппроксимаций прямой и двойственной вариационных задач. Приводится ряд примеров, которые иллюстрируют установленные тождества и неравенства. Библ. 29. Фиг. 5. Табл. 3.