Аннотация:
Рассматривается построение полиэдрального разбиения Делоне как предела последовательности степенных диаграмм (так называемых радикальных разбиений), а двойственная диаграмма Вороного получается как предел последовательности взвешенных разбиений Делоне. С использованием известной концепции подъема точек на параболоид задача сводится к построению пары двойственных выпуклых многогранников как предела последовательности пар общих двойственных выпуклых многогранников, вписанных и описанных вокруг кругового параболоида. При этом последовательность первичных многогранников должна сходиться к описанному многограннику, а последовательность двойственных многогранников сходится к вписанному многограннику. Для построения последовательностей пар взаимно двойственных многогранников нас интересует случай, когда вершины первичных многогранников могут перемещаться или сливаться. Это значит, что для двойственных многогранников не допускается появление новых граней. Данные правила по сути определяют преобразование множества заданных шаров, определяющих степенную диаграмму, во множество шаров Делоне, используя перемещение шара, изменение радиуса и удаление шара как допустимые операции. Хотя строгое обоснование (теоремы существования) для этой задачи пока недоступно, мы предлагаем функционал, измеряющий отклонение общего выпуклого многогранника от многогранника, вписанного в параболоид. Этот функционал является дискретным функционалом Дирихле для функции степени (так называемой степени точки относительно сферы), которая является линейным интерполянтом расстояния двойственных вершин от параболоида по вертикали. Абсолютный минимимум этого функционала достигается в случае, когда степень постоянна, т.е. вписанный многогранник может быть получен из минимизирующего многогранника с помощью параллельного переноса. Функционал Дирихле для двойственной поверхности не является квадратичной, поскольку неизвестными являются вершины первичного многогранника. Следовательно, преобразование множества шаров в шары Делоне в общем случае не является единственным. В данной работе мы сосредоточились на экспериментальном подтверждении работоспособности предложенного подхода и оставили в стороне проблемы качества получающейся сетки. Нулевое значение градиента предложенного функционала определяет многообразие, описывающее эволюцию сфер Делоне. Следовательно, сетки Делоне–Вороного могут быть оптимизированы с использованием этого многообразия в качестве ограничения. Численные примеры иллюстрируют построение многоугольных сеток Делоне в плоских областях.
Библ. 19. Фиг. 15.
