Схема Ричардсона для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с разрывным начальным условием

Рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с кусочно-непрерывным начальным условием в прямоугольной области. Старшая производная уравнения содержит параметр $\varepsilon^2$, $\varepsilon\in(0,1]$. При малых значениях параметра $\varepsilon$ в окрестности боковой части границы и в окрестности характеристики предельного уравнения, проходящей через точку разрыва начальной функции, возникают, соответственно, пограничный и внутренний слои (с характерной шириной $\varepsilon$), имеющие ограниченную гладкость при фиксированных значениях параметра $\varepsilon$. С использованием метода аддитивного выделения особенностей (порождаемых разрывами начальной функции и ее производных низкого порядка), а также метода сгущающихся сеток (кусочно-равномерных сеток, сгущающихся в окрестности пограничных слоев) строится разностная схема, сходящаяся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-2}\ln^2+N_0^{-1})$, где $N+1$ и $N_0+1$ – число узлов по $x$ и $t$ используемых сеток. На основе техники Ричардсона построена схема, сходящаяся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-3}+N_0^{-2})$; показано, что для метода Ричардсона скорость $\varepsilon$-равномерной сходимости по $x$ с порядком выше третьего недостижима. Библ. 31.