Generation of Kummer's second theorem with application

Целью настоящей статьи является получение разложения в ряд функции
$$ e^{-x/2}{}_1F_1(\alpha; 2\alpha+i; x) $$
при $i=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm4$, $\pm5$, где ${}_1F_1(\cdot)$—вырожденная гипергеометрическая функция I рода (функция Куммера). При $i=0$ авторы получают известную вторую теорему Куммера. Полученные результаты доказаны при помощи обобщенной второй теоремы суммирования Гаусса, найденной ранее в работе Лавоей и др. Кроме этого, получены явные выражения для
$$ {}_2F_1[-2n, \alpha; 2\alpha+i; 2] \text{ и } {}_2F_1[-2n-1, \alpha; 2\alpha+i; 2] $$
при $i=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm4$, $\pm5$, где ${}_pF_q(\cdot)$ - обобщенная гипергеометрическая функция. При $i=0$ полученный результат совпадает с результатом, известным в литературе. В качестве применения полученных результатов найдены явные выражения для
$$ e^{-x}{}_1F_1(\alpha; 2\alpha+i; x)\times{}_1F_1(\alpha; 2\alpha+j; x) $$
при $i$, $j=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm4$, $\pm5$, а также для
$$ (1-x)^{-a}{}_2F_1\left(a, b; 2b+j; -\frac{2x}{1-x}\right) $$
при $j=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm4$, $\pm5$. При $i=j=0$ и $j=0$ авторы получают известное тождество Принса, а также известную квадратичную формулу преобразования Куммера. Полученные результаты могут найти применение в прикладных науках. Библ. 10. Табл. 1.