Схема Ричардсона повышенного порядка точности для семилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии

Рассматривается задача Дирихле на вертикальной полосе для семилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции—диффузии. Для такой задачи нелинейная базовая разностная схема на основе классических аппроксимаций задачи на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в слое, сходится $\varepsilon$-равномерно с порядком точности не выше первого. С использованием техники Ричардсона строится нелинейная схема, сходящаяся $\varepsilon$-равномерно с улучшенной скоростью сходимости — со скоростью $O(N_1^{-2}\ln_1^2N+N_2^{-2})$, где $N_1+1$ и $N_2+1$ — число узлов сетки по оси $x_1$ и на единичном отрезке оси $x_2$ соответственно. На основе нелинейной базовой схемы строится линеаризованная итерационная схема, в которой нелинейный член вычисляется по искомой функции с предыдущей итерации. Эта схема используется при построении линеаризованной итерационной схемы Ричардсона, сходящейся $\varepsilon$-равномерно с улучшенным порядком скорости сходимости. Итерационные схемы (базовая и улучшенная) с ростом числа итераций сходятся $\varepsilon$-равномерно со скоростью геометрической прогрессии. Использование в качестве индикаторов верхних и нижних решений итерационных схем Ричардсона позволяет в процессе решения определить текущую итерацию, при которой достигается такая же $\varepsilon$-равномерная скорость сходимости, как безытерационной нелинейной схемы Ричардсона. Показано, что для краевой задачи конвекции–диффузии не существует схем метода Ричардсона, сходящихся $\varepsilon$-равномерно с порядком скорости сходимости выше второго: обсуждается принцип построения схемы выше второго порядка точности. Библ. 27.