Verschärfung eines grenzwersatzes für die superposition von unabhängigen erneuerungsprozessen

Wir betrachten das Serienschema (1) von unabhängigen in jeder Serie, gleichverteilten, ganzzahligen Zuvallsvariabeln $\xi_{ni}\geq0,i=1,2,\dots n$. Jedes $\xi _{ni} $ ist gleich der Anzahl der Erneuerungen eines Erneuerungsprozesses $N_{ni}(t)$ im Intervall $(u_0,u_0+t],u_0\geq0,t>0$. Ist
$$H_n(t)=H_{ni}(t)={\mathbf M}N_{ni}(t)$$
die Erneuerungsfunktion der Prozesses $N_{ni}(t)$, so fordern wir für jedes $n$ und $t$
$$nH_n (t)=H(t),$$
wobei $H(t)$ eine beliebige Erneuerungsfunktion ist. Unter diesen Bedingungen bekommt $n$ man für die Verteilung der Summe $\zeta_n=\sum_{i=1}^n\xi _{ni}$ die Abschätzung (2).