О сравнении меры Хаусдорфа и емкости

Рассматриваются “классическая” емкость $C_K(E)$ аналитического множества $E\subset\mathbb R^m$, $m\ge 2$ ($K(r)$ — ядро потенциала), и мера Хаусдорфа $\Lambda_h(E)$ ($h(r)$ — измеряющая функция). Показано, что импликация $(C_K(E)=0\Rightarrow\Lambda_h(E)=0)$ имеет место не только в случае, когда
\begin{equation} \int_0 K(r)\,dh(r)<\infty. \tag{1} \end{equation}
Например, (1) можно заменить независимым условием $\varlimsup r^m/h(r)>0$ $r\to 0+$. Но при дополнительном предположении $h(r)\le q^{-m}(r)h(rq(r))$, где $0<\delta\le q(r)\le 1-\delta$ при $0<r<r_0$, условие (1) становится необходимым: если интеграл в (1) расходится, то существует компактное множество $E$ такое, что $\Lambda_h(E)>0$, $C_k(E)=0$. При этом условие $q(r)\ge\delta>0$ нельзя ослабить, допустив (пусть даже сколь угодно медленное) стремление функции $q(r)$ к 0.