Блоховский электрон во внешнем поле

Для уравнения $H\psi=E\psi$, где $H=-\partial_x^2+p(x)-\epsilon x$; $p(x)\colon\mathbf R\to\mathbf R$ — гладкая периодическая функция, $p(x+a)=p(x)$; $\epsilon>0$ — параметр, $E$ — спектральный параметр, изучена задача рассеяния. Основным объектом исследования является аналог функции Йоста $M(E)$ и коэффициент отражения $r(E)=\overline{M(\overline E)}/\overline{M(\overline E)}$. При дополнительных предположениях об аналитических свойствах периодического потенциала $p$ изучены аналитические свойства решений рассматриваемого уравнения, функции $M$ и коэффициента отражения $r$; исследовано распределение резонансов — нулей и полюсов коэффициента отражения — на комплексной плоскости $E$. На основе предварительного изучения асимптотического поведения решений уравнения $H\psi=E\psi$ при $\epsilon\to0$ получена асимптотическая формула для функции $M$ и установлена связь между цепочками резонансов и известными в связи с обсуждаемой проблематикой лестницами Ванье–Штарка. Изучен спектральный смысл резонансов и прослежена трансформация при $\epsilon\to0$ однократного лебегова спектра оператора $H$ в двухкратный лакунный спектр оператора $H_0=-\partial_x^2+p(x)$.