Цена дифференциальной игры для системы с запаздыванием в случае полунепрерывного показателя качества

В статье рассматривается дифференциальная игра, в которой движение динамической системы описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа. Цель управления первого (соответственно, второго) игрока заключается в минимизации (соответственно, максимизации) показателя качества, состоящего из двух слагаемых. Первое слагаемое оценивает движение системы и задается функционалом, который определен на пространстве непрерывных функций, полунепрерывен снизу и локально ограничен сверху. Второе слагаемое представляет собой интегральную оценку движения системы и управлений игроков. Ослабление стандартного предположения о непрерывности показателя качества до полунепрерывности позволяет охватить, в частности, некоторые типичные постановки задач сближения-уклонения и задач на минимакс-максимин времени до встречи с заданным целевым множеством. Доказывается теорема о существовании цены рассматриваемой дифференциальной игры в классах позиционных стратегий управления игроков с памятью истории движения. Основу доказательства составляют результаты из теории минимаксных (обобщенных) решений отвечающей этой игре задачи Коши для наследственного уравнения Гамильтона–Якоби с коинвариантными производными при краевом условии на правом конце и подходящий вариант метода экстремального прицеливания. В качестве следствия и при дополнительном предположении о выпуклости (расширенной) вектограммы скоростей системы доказывается теорема о том, что рассматриваемая дифференциальная игра, формализованная в классах неупреждающих стратегий управления игроков, также имеет цену, которая совпадает с ценой игры в классах позиционных стратегий. Для доказательства этого утверждения используется результат о существовании неупреждающих селекторов неупреждающих многозначных отображений.