Particular examples of planar integral point setsand their classification

Плоское целоудаленное множество есть конечное множество точек на евклидовой плоскости, не содержащееся ни на какой прямой, такое, что евклидово расстояние между любой парой точек является целым числом. Эти множества характеризуются своей мощностью (конечным числом точек), диаметром (максимальным попарным расстоянием) и характеристикой (наименьшим положительным целым числом $q$ таким, что площади всех треугольников, образованных точками множества, соизмеримы с $\sqrt{q}$). Характеристика инвариантна относительно сдвига, растяжения, отражения, а также добавления или удаления точек. Существующие классификации включают множества в полуобщем положении (никакие три точки не лежат на одной прямой) и в общем положении (никакие три точки не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности). Классическими примерами являются круговые множества и веерные множества (все точки, кроме одной, лежат на одной прямой). Однако нахождение множеств общего положения представляет значительные трудности. Например, наибольшее известное множество имеет семь точек, и пока не найдено множество из восьми точек общего положения. В данной работе представлены новые примеры для развития классификации, включая рельсовые множества (точки на двух параллельных прямых), множества с несколькими симметриями и стреловидные конфигурации. Мы также рассматриваем множества с большим количеством общих точек, которые нельзя объединить. Эти конструкции подчеркивают потенциал последовательных растяжений и ограничения на объединение множеств, демонстрируя новые особенности структуры и свойств плоских целоудаленных множеств.