Теорема типа Л. Альфорса для мер Хаусдорфа

Пусть функция $f$ аналитична в области $\Delta\subset\mathbb{C}$, $D=f(\Delta)$ – риманова поверхность. Рассмотрим $E\subset\Delta$ – замкнутое множество, положим $l_{R}=\{z\in\Delta : |f(z)|=R\}$, $h_{\alpha,\beta}(r)=r^{\alpha}|\log{r}|^{\beta},$ $0<\alpha<1$, $0<\beta<1$. Через $\Lambda_{\alpha,\beta}(\cdot),$ $\Lambda_{\alpha+1,\beta}(\cdot)$ обозначим меры Хаусдорфа по отношению к функциям $h_{\alpha,\beta}$, $h_{\alpha+1,\beta}$. Предположим, что $\Lambda_{\alpha+1,\beta}(E)<\infty$.
Определим также

• $l_{R,\varepsilon}=\{z\in l_{R} : \text{dist}(z,\partial\Delta)\geq\varepsilon, |z|\leq\frac{1}{\varepsilon}\}$,
• $T_{R,\varepsilon}=f(l_{R,\varepsilon}\cap E)$,
• $G_{\varepsilon}(R)=\begin{cases} 0,& \text{ если } \Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})=0 \text{ или } \Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})=\infty\\ \frac{\Lambda_{\alpha,\beta}^{\frac{1+\alpha}{\alpha}}(E\cap l_{R,\varepsilon})}{\Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})},& \text{ если } 0<\Lambda_{\alpha,\beta}(T_{R,\varepsilon})<\infty. \end{cases}$

Определим верхний интеграл Лебега $\underset{0 }{\overset{\infty}{\int^{\ast}}}g \text{d}m$ для функции $g(x)\geq0$ следующим образом: пусть $U(y)=\{x>0 : g(x)>y,\}$ $H(y)=m^{*}U(y)$. Тогда положим $\underset{0 }{\overset{\infty}{\int^{\ast}}}g \text{d}m\overset{\text{def}}{=}\int\limits_{0}^{\infty}H(y) \text{d}y$.
Мы доказываем следующий результат.
Теорема. Для почти всех $R$ по $1$-мере Лебега выполнено условие $\Lambda_{\alpha,\beta }(T_{R,\varepsilon})<\infty$ и справедливо соотношение
$$ \int\limits_{0}^{\infty}\lim\limits_{\overline{\varepsilon\to0}}G_{\varepsilon}(R) \text{d}R\leq 2\Lambda_{\alpha+1,\beta}(E).$$
Библ. – 3 назв.