RUS  ENG
Full version
JOURNALS // Chebyshevskii Sbornik
Chebyshevskii Sb., 2012, Volume 13, Issue 4, Pages 4–107 (Mi cheb46)
Гиперболические дзета-функции сеток и решеток и вычисление оптимальных коэффициентов
L. P. Dobrovol'skaya, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii

References
1. Akramov U. A., “Teorema izolyatsii dlya form, otvechayuschikh chisto veschestvennym algebraicheskim polyam”, Analiticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsii-10, Zap. nauch. seminara. LOMI, 185, 1990, 5–12  mathnet
2. Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N., Teoriya kratnykh trigonometricheskikh summ, Nauka, M., 1986  mathscinet  zmath
3. Babenko K. I., Osnovy chislennogo analiza, Nauka, M., 1986  mathscinet
4. Bakhvalov N. S., “O priblizhennom vychislenii kratnykh integralov”, Vestn. Mosk. un-ta, 1959, no. 4, 3–18  mathscinet
5. Bakhvalov N. S., Korobov N. M., Chentsov N. N., “Primenenie teoretiko-chislovykh setok k zadacham priblizhennogo analiza”, Trudy Chetvertogo Vsesoyuznogo matematicheskogo s'ezda, v. II, Nauka, L., 1964, 580–587
6. Borevich Z. I., Shafarevich I. R., Teoriya chisel, Nauka, M., 1985  mathscinet  zmath
7. Bocharova L. P., Vankova V. S., Dobrovolskii N. M., “O vychislenii optimalnykh koeffitsientov”, Mat. zametki, 49:2 (1991), 23–28  mathnet  mathscinet  zmath
8. Bocharova L. P., “Algoritmy poiska optimalnykh koeffitsientov”, Chebyshevskii sbornik, 8:1(21) (2007), 4–109  mathnet  mathscinet
9. Bukhshtab A. A., Teoriya chisel, Uchpedgiz, M., 1960  zmath
10. Bykovskii V. A., O pravilnom poryadke pogreshnosti optimalnykh kubaturnykh formul v prostranstvakh s dominiruyuschei proizvodnoi i kvadratichnykh otkloneniyakh setok, Preprint, VTs, Vladivostok, 1985  mathscinet
11. Bykovskii V. A., Ekstremalnye kubaturnye formuly dlya anizotropnykh klassov, Preprint, Khabarovsk, 1995, 13 pp.
12. Vinogradov I. M., Osnovy teorii chisel, Nauka, M., 1981  mathscinet
13. Voronin S. M., Karatsuba A. A., Dzeta-funktsiya Rimana, FizMatLit, M., 1994  mathscinet
14. Voronin S. M., “O kvadraturnykh formulakh”, Izv. RAN. Ser. mat., 58:5 (1994), 189–194  mathnet  mathscinet
15. Voronin S. M., “O postroenii kvadraturnykh formul”, Izv. RAN. Ser. mat., 59:4 (1995)  mathscinet  zmath
16. Voronin S. M., Temirgaliev N., “O kvadraturnykh formulakh, svyazannykh s divizorami polya gaussovykh chisel”, Mat. zametki, 46:2 (1989), 34–41  mathnet  mathscinet  zmath
17. Gekke E., Lektsii po teorii algebraicheskikh chisel, Gostekhizdat, M.–L., 1940
18. Gelfand I. M., Frolov A. S., Chentsov N. N., “Vychislenie integralov metodom Monte-Karlo”, Izv. vuzov. Matematika, 1958, no. 5(6), 32–45  mathnet  mathscinet
19. Gelfond A. O., Ischislenie konechnykh raznostei, Nauka, M., 1967  mathscinet
20. Delone B. N., Faddeev D. K., “Teoriya irratsionalnostei tretei stepeni”, Nauchn. tr. Mat. in-t im. V. A. Steklova, 11, 1940  mathnet  mathnet  mathscinet  zmath
21. Delone B. N., Peterburgskaya shkola teorii chisel, Izd-vo AN SSSR, M.–L., 1947
22. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolskii M. N., Dobrovolskii N. M., Dobrovolskii N. N., Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshëtki i algoritmy poiska optimalnykh koeffitsientov, Izd-vo Tul. gos. ped. un-ta im. L. N. Tolstogo, Tula, 2012, 283 pp.
23. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolskii N. M., Simonov A. S., “O pogreshnosti priblizhennogo integrirovaniya po modifitsirovannym setkam”, Chebyshevskii sbornik, 9:1(25) (2008), 185–223  mathnet  mathscinet
24. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolskii N. M., Dobrovolskii N. N., Ogorodnichuk N. K., Rebrov E. D., Rebrova I. Yu., “Nekotorye voprosy teoretiko-chislovogo metoda v priblizhennom analize”, Algebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya, Trudy X mezhdunarodnoi konferentsii, v. 2, Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta, 6, 2012, 90–98
25. Dobrovolskii M. N., Dobrovolskii N. M., Kiseleva O. V., “O proizvedenii obobschennykh parallelepipedalnykh setok tselochislennykh reshëtok”, Chebyshevskii sbornik, 3:2 (4) (2002), 43–59  mathscinet
26. Dobrovolskii M. N., Dobrovolskii N. M., Kiseleva O. V., “O proizvedenii obobschennykh parallelepipedalnykh setok tselochislennykh reshëtok”, Sovremennye problemy matematiki, mekhaniki, informatiki, Tezisy dokladov Vserossiiskoi nauchnoi konferentsii, TulGU, Tula, 2002, 22–23
27. Dobrovolskii M. N., “Otsenki summ po giperbolicheskomu krestu”, Izv. TulGU. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 9:1 (2003), 82–90  mathscinet
28. Dobrovolskii M. N., “Ob optimalnykh koeffitsientakh kombinirovannykh setok”, Chebyshevskii sbornik, 5:1(9) (2004), 95–121  mathscinet
29. Dobrovolskii M. N., “Ryady Dirikhle s periodicheskimi koeffitsientami i funktsionalnoe uravnenie dlya giperbolicheskoi dzeta-funktsii tselochislennykh reshëtok”, Chebyshevskii sbornik, 3:2(4) (2006), 43–59  mathscinet
30. Dobrovolskii M. N., “Funktsionalnoe uravnenie dlya giperbolicheskoi dzeta-funktsii tselochislennykh reshëtok”, DAN, 412:3 (2007), 302–304  mathnet  mathscinet
31. Dobrovolskii M. N., “Funktsionalnoe uravnenie dlya giperbolicheskoi dzeta-funktsii tselochislennykh reshëtok”, Vestn. Mosk. un-ta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika, 2007, no. 3, 18–23  mathnet  mathscinet  zmath
32. Dobrovolskii N. M., Giperbolicheskaya dzeta funktsiya reshëtok, Dep. v VINITI 24.08.84, № 6090–84
33. Dobrovolskii N. M., O kvadraturnykh formulakh na klassakh $E^\alpha_s(c)$ i $H^\alpha_s(c)$, Dep. v VINITI 24.08.84, № 6091–84
34. Dobrovolskii N. M., Teoretiko–chislovye setki i ikh prilozheniya, Dis. … kand. fiz.–mat. nauk, Tula, 1984
35. Dobrovolskii N. M., Teoretiko–chislovye setki i ikh prilozheniya, Avtoref. dis. … kand. fiz.-mat. nauk, Moskva, 1985
36. Dobrovolskii N. M., “Teoretiko-chislovye setki i ikh prilozheniya”, Teoriya chisel i ee prilozheniya, Tez. dokl. Vsesoyuz. konf. (Tbilisi, 1985), 67–70
37. Dobrovolskii N. M., Vankova V. S., Ob odnoi lemme A. O. Gelfonda, Dep. v VINITI 08.01.87, № 1467-B87
38. Dobrovolskii N. M., Vankova V. S., “O giperbolicheskoi dzeta-funktsii algebraicheskikh reshëtok”, Teoriya chisel i ee prilozheniya, Tez. dokl. respublik. konf. (Tashkent, 1990), 22
39. Dobrovolskii N. M., Vankova V. S., Kozlova S. L., Giperbolicheskaya dzeta-funktsiya algebraicheskikh reshëtok, Dep. v VINITI 12.04.90, № 2327-B90
40. Dobrovolskii N. M., Klepikova N. L., Tablitsa optimalnykh koeffitsientov dlya priblizhennogo vychisleniya kratnykh integralov, Preprint 63, IOFAN SSSR, Moskva, 1990
41. Dobrovolskii N. M., Roschenya A. L., “O chisle tochek reshëtki v giperbolicheskom kreste”, Algebraicheskie, veroyatnostnye, geometricheskie, kombinatornye i funktsionalnye metody v teorii chisel, Sb. tez. dokl. II Mezhdunar. konf. (Voronezh, 1995), 53  zmath
42. Dobrovolskii N. M., Roschenya A. L., “Ob analiticheskom prodolzhenii giperbolicheskoi dzeta-funktsii ratsionalnykh reshëtok”, Sovremennye problemy teorii chisel i ee prilozheniya, Sb. tez. dokl. III Mezhdunar. konf. (Tula, 1996), 49
43. Dobrovolskii N. M., Roschenya A. L., “O nepreryvnosti giperbolicheskoi dzeta-funktsii reshëtok”, Izv. Tul. gos. un-ta. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2:1 (1996), 77–87  mathscinet
44. Dobrovolskii N. M., Manokhin E. V., “Banakhovy prostranstva periodicheskikh funktsii”, Izv. TulGU. Ser. Mekhanika. Matematika. Informatika, 4:3 (1998), 56–67  mathscinet
45. Dobrovolskii N. M., Roschenya A. L., “O chisle tochek reshëtki v giperbolicheskom kreste”, Mat. zametki, 63:3 (1998), 363–369  mathnet  mathscinet
46. Dobrovolskii N. M., Rebrova I. Yu., Roschenya A. L., “Nepreryvnost giperbolicheskoi dzeta-funktsii reshëtok”, Mat. zametki, 63:4 (1998), 522–526  mathnet  mathscinet
47. Dobrovolskii N. M., Esayan A. R., Rebrova I. Yu., “Ob odnom rekursivnom algoritme dlya reshëtok”, Teoriya priblizhenii i garmonicheskii analiz, Tez. dokl. Mezhdunar. konf. (Tula, 1998)
48. Dobrovolskii N. M., Esayan A. R., Pikhtilkov S. A., Rodionova O. V., Ustyan A. E., “Ob odnom algoritme poiska optimalnykh koeffitsientov”, Izvestiya TulGU. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 5:1 (1999), 51–71  mathscinet
49. Dobrovolskii N. M., Manokhin E. V., Rebrova I. Yu., Akkuratova S. V., “O nekotorykh svoistvakh normirovannykh prostranstv i algebr setok”, Izvestiya TulGU. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 5:1 (1999), 100–113  mathscinet
50. Dobrovolskii N. M., Esayan A. R., Rebrova I. Yu., “Ob odnom rekursivnom algoritme dlya reshëtok”, Izvestiya TulGU. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 5:3 (1999), 38–51  mathscinet
51. Dobrovolskii N. M., Korobov N. M., “Optimalnye koeffitsienty dlya kombinirovannykh setok”, Chebyshevskii sbornik, 2 (2001), 41–53  mathscinet
52. Dobrovolskii N. M., Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshëtki i ikh prilozheniya, Izd-vo Tul. gos. ped. un-ta im. L. N. Tolstogo, Tula, 2005, 195 pp.
53. Dobrovolskii N. N., “Otklonenie dvumernykh setok Smolyaka”, Chebyshevskii sbornik, 8:1(21) (2007), 110–152  mathnet  mathscinet
54. Karatsuba A. A., Osnovy analiticheskoi teorii chisel, Nauka. FizMatLit, M., 1983  mathscinet
55. Kassels D., Vvedenie v geometriyu chisel, Mir, M., 1965  mathscinet
56. Korobov N. M., “Priblizhennoe vychislenie kratnykh integralov s pomoschyu metodov teorii chisel”, DAN SSSR, 1957, no. 6, 1062–1065  mathnet  mathscinet  zmath
57. Korobov N. M., “O priblizhennom vychislenii kratnykh integralov”, DAN SSSR, 124:6 (1959), 1207–1210  mathscinet  zmath
58. Korobov N. M., “Vychislenie kratnykh integralov metodom optimalnykh koeffitsientov”, Vestn. Mosk. un-ta, 1959, no. 4, 19–25  mathscinet
59. Korobov N. M., “O nekotorykh teoretiko-chislovykh metodakh priblizhennogo vychisleniya kratnykh integralov”, Rezyume dokl. na zasedanii Mosk. mat. ob-va, UMN, 14:2 (86) (1959), 227–230  mathnet
60. Korobov N. M., “Svoistva i vychislenie optimalnykh koeffitsientov”, DAN SSSR, 132:5 (1960), 1009–1012  mathnet  mathscinet  zmath
61. Korobov N. M., O nekotorykh zadachakh teorii chisel, voznikayuschikh iz potrebnostei priblizhennogo analiza, Soobschenie na IV matematicheskom s'ezde (ne opubl.)
62. Korobov N. M., “O primenenii teoretiko-chislovykh setok”, Vychislitelnye metody i programmirovanie, Sb. Mosk. un-t, 1962, 80–102
63. Korobov N. M., “O teoretiko-chislovykh metodakh v priblizhennom analize”, Voprosy vychislitelnoi matematiki i vychislitelnoi tekhniki, Mashgiz, M., 1963  mathscinet
64. Korobov N. M., Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize, Fizmatgiz, M., 1963  mathscinet  zmath
65. Korobov N. M., “O nekotorykh voprosakh teorii diofantovykh priblizhenii”, UMN, 22:3(135) (1967), 83–118  mathnet  mathscinet  zmath
66. Korobov N. M., “O vychislenii optimalnykh koeffitsientov”, DAN SSSR, 267:2 (1982), 289–292  mathnet  mathscinet  zmath
67. Korobov N. M., “Ob odnoi otsenke A. O. Gelfonda”, Vestn. MGU. Ser. 1. Matematika, mekhanika, 1983, no. 3, 3–7  mathnet  mathscinet  zmath
68. Korobov N. M., Trigonometricheskie summy i ikh prilozheniya, Nauka, M., 1989  mathscinet  zmath
69. Korobov N. M., “Kvadraturnye formuly s kombinirovannymi setkami”, Matematicheskie zametki, 55:2 (1994), 83–90  mathnet  mathscinet  zmath
70. Korobov N. M., “O teoretiko-chislovykh metodakh priblizhennogo integrirovaniya”, Istoriko-matem. issledovaniya, XXXV, SPb., 1994, 285–301  mathscinet  zmath
71. Korobov N. M., Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize, Vtoroe izdanie, MTsNMO, M., 2004  mathscinet
72. N. K. Ogorodnichuk, E. D. Rebrov, “POIVS TMK: Algoritmy integrirovaniya s pravilami ostanovki”, Mnogomasshtabnoe modelirovanie struktur i nanotekhnologii, Materialy mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii, posvyaschennoi 190-letiyu so dnya rozhdeniya akademika Pafnutiya Lvovicha Chebyshëva, stoletiyu so dnya rozhdeniya akademika Sergeya Vasilevicha Vonsovskogo i 80-letiyu so dnya rozhdeniya chlen-korrespondenta Viktora Anatolevicha Buravikhina, Izd-vo Tul. gos. ped. un-ta im. L. N. Tolstogo, Tula, 254–258
73. Rebrova I. Yu., “Nepreryvnost giperbolicheskoi dzeta-funktsii reshëtok”, Sovremennye problemy teorii chisel, Tez. dokl. III Mezhdunar. konf., Izd-vo TGPU, Tula, 1996, 119
74. Rebrova I. Yu., “Nepreryvnost obobschennoi giperbolicheskoi dzeta-funktsii reshëtok i ee analiticheskoe prodolzhenie”, Izv. TulGU. Ser. Mekhanika. Matematika. Informatika, 4:3 (1998), 99–108  mathscinet
75. Rebrova I. Yu., Prostranstvo reshëtok i funktsii na nem, Dis. …kand. fiz.-mat. nauk, MPGU, Moskva, 1999
76. Roschenya A. L., Analiticheskoe prodolzhenie giperbolicheskoi dzeta-funktsii reshëtok, Dis. …kand. fiz.-mat. nauk, MPGU, Moskva, 1998
77. Ryshkov S. S., Baranovskii E. P., “Klassicheskie metody teorii reshëtchatykh upakovok”, UMN, 34:4 (208) (1979), 3–63  mathnet  mathscinet  zmath
78. Skubenko B. F., “O proizvedenii $n$ lineinykh form ot $n$ peremennykh”, Trudy MIAN SSSR, 158, 1981, 175–179  mathnet  mathscinet  zmath
79. Skubenko B. F., “Teorema izolyatsii dlya razlozhimykh form chisto veschestvennykh algebraicheskikh polei stepeni $n\ge 3$”, Analiticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsii- 4, Zap. nauch. seminara LOMI, 112, 1981, 167–171  mathnet  mathscinet  zmath
80. Skubenko B. F., “Minimumy razlozhimoi kubicheskoi formy ot trekh peremennykh”, Analiticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsii-9, Zap. nauch. seminara LOMI, 168, 1988, 125–139  mathnet  mathscinet  zmath
81. Skubenko B. F., “Minimumy razlozhimykh form stepeni $n$ ot $n$ peremennykh pri $n\ge 3$”, Modulyarnye funktsii i kvadratichnye formy 1, Zap. nauch. seminara LOMI, 183, 1990, 142–154  mathnet
82. Smolyak S. A., “Interpolyatsionnye i kvadraturnye formuly na klassakh $W^{\alpha}_s$ i $E^{\alpha}_s$”, DAN SSSR, 131:5 (1960), 1028–1031  mathnet
83. Smolyak S. A., “Kvadraturnye i interpolyatsionnye formuly na tenzornykh proizvedeniyakh nekotorykh klassov funktsii”, DAN SSSR, 148:5 (1963), 1042–1045  mathnet  zmath
84. Smolyak S. A., Ob optimalnom vosstanovlenii funktsii i funktsionalov ot nikh, Kandidatskaya dissertatsiya
85. Sobolev S. L., Vvedenie v teoriyu kubaturnykh formul, Nauka, M., 1974  mathscinet
86. Temirgaliev N., “Primenenie teorii divizorov k chislennomu integrirovaniyu periodicheskikh funktsii mnogikh peremennykh”, Matem. sb., 181:4 (1990), 490–505  mathnet
87. Titchmarsh E. K., Teoriya dzeta-funktsii Rimana, Iz-vo IL, M., 1953
88. Frolov K. K., “Otsenki sverkhu pogreshnosti kvadraturnykh formul na klassakh funktsii”, DAN SSSR, 231:4 (1976), 818–821  mathnet  mathscinet  zmath
89. Frolov K. K., “O svyazi kvadraturnykh formul i podreshëtok reshëtki tselykh vektorov”, DAN SSSR, 232:1 (1977), 40–43  mathnet  mathscinet  zmath
90. Frolov K. K., “Otsenka sverkhu diskrenansa v metrike $L_p,\;\; 2\le p<\infty$”, DAN SSSR, 252:4 (1980), 805–807  mathnet  mathscinet  zmath
91. Frolov K. K., Kvadraturnye formuly na klassakh funktsii, Dis. … kand. fiz.-mat. nauk, VTs AN SSSR, M., 1971
92. Chandrasekkharan K., Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel, Mir, M., 1974  mathscinet
93. Chudakov N. G., Vvedenie v teoriyu L-funktsii Dirikhle, OGIZ Gostekhizdat, M., 1947
94. Sharygin I. F., “Otsenki snizu pogreshnosti kvadraturnykh formul na klassakh funktsii”, Zhurn. vychisl. mat. i mat. fiziki, 7:4 (1963), 784–802  mathnet
95. Dirichlet L., “Über die Bestimmung der mitteleren Werthe in der Zahlentheorie”, Abh. Akad. Berlin, 1849; Math. Abh., 69–83; Werke, v. 2, 49–66
96. Gauss C. F., “Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen Formen von Ludvig August Seeber”, Göttingische gelehrte Anzeigen, 1831, Juli 9
97. Gauss C. F., Werke, v. 2, Göttingen, 1863, 269–291
98. Hua Loo Keng, Applications of Number Theory to Numerical Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1981  mathscinet
99. Huxley M. N., “Exponential sums and lattice points, II”, Proc. London Math. Soc., 66:2 (1993), 273–301  mathscinet
100. Larcher G., Niederreiter H., “Optional coefficients modulo prime powers in the three-dimensional case”, Ann. mat. pura ed appl., 1989, no. 155, 299–315  mathscinet  zmath
101. Minkowski H., Geometrie der Zahlen, Leipzig – Berlin, 1896
102. Weyl H., “Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins”, Math. Ann., 77 (1916), 313–352  crossref  mathscinet  zmath; Veil G., Matematika. Teoreticheskaya fizika, Nauka, M., 1984  mathscinet

© Steklov Math. Inst. of RAS, 2026