Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей
В. И. Данченко, М. А. Комаров, П. В. Чунаев

Литература
1.	Boole G., “On the comparison of transcendents, with certain applications to the theory of definite integrals”, Philos. Trans. R. Soc., 147 (1857), 745–803
2.	Macintyre A. J., Fuchs W. H. J., “Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial”, J. London Math. Soc., 15:3 (1940), 162–168
3.	Marstrand J. M., “The distribution of the logarithmic derivative of a polynomial”, J. London Math. Soc., 38 (1963), 495–500
4.	Гончар А. А., “О наилучших приближениях рациональными функциями”, ДАН СССР, 100:2 (1955), 205–208
5.	Гончар А. А., “Обратные теоремы о наилучших приближениях на замкнутых множествах”, ДАН СССР, 128:1 (1959), 25–28
6.	Гончар А. А., “Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 25:3 (1961), 347–356
7.	Долженко Е. П., “Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций”, Матем. сб., 56:4 (1962), 403–432
8.	Долженко Е. П., “Рациональные аппроксимации и граничые свойства аналитических функций”, Матем. сб., 69:111 (1966), 497–524
9.	Долженко Е. П., “О зависимости граничных свойств аналитической функции от скорости ее приближения рациональными функциями”, Матем. сб., 103:145 (1977), 131–142
10.	Долженко Е. П., “Некоторые точные интегральные оценки производных рациональных и алгебраических функций. Приложения”, Anal. Math., 4:4 (1978), 247–268
11.	Cartan H., “Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires et leurs applications”, Ann. Sci. École Norm. Sup., 45:3 (1928), 255–346
12.	Anderson J. M., Eiderman V. Ya., “Cauchy transforms of point masses: the logarithmic derivative of polynomials”, Ann. Math., 163:3 (2006), 1057–1076
13.	Андерсон Дж.M., Эйдерман В. Я., “Оценки преобразования Коши точечных масс (логарифмической производной многочлена)”, Докл. РАН, 401:5 (2005), 583–586
14.	Говоров Н. В., Лапенко Ю. П., “Оценки снизу модуля логарифмической производной многочлена”, Матем. заметки, 23:4 (1978), 527–535
15.	Эйдерман В. Я., “Оценки картановского типа для потенциалов с ядром Коши и с действительными ядрами”, Матем. сб., 198:8 (2007), 115–160
16.	Горин Е. А., “Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами”, Сиб. матем. журн., 3:4 (1962), 500–526
17.	Николаев Е. Г., “Геометрическое свойство корней многочленов”, Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., механ., 5 (1965), 23–26
18.	Гельфонд А. О., “Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси”, Матем. сб., 71 (113):3 (1966), 289–296
19.	Кацнельсон В. Э., “О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями $\frac{1}{z-z_k}$”, Теория функций, функц. анализ и их прилож., 4 (1967), 58–66
20.	Данченко В. И., “Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей”, Матем. сб., 185:8 (1994), 63–80
21.	Бородин П. А., “Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме $L_p$ на этих множествах”, Матем. заметки, 82:6 (2007), 803–810
22.	Данченко В. И., Метрические свойства мероморфных функций, Дисс. $\dotsc$ докт. физ.-матем. наук, МГУ, М., 1999
23.	Данченко В. И., “Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы”, Матем. сб., 197:4 (2006), 33–52
24.	Данченко Д. Я., Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями. Приложение к уравнениям эллиптического типа, Дисс. $\dots$ канд. физ.-матем. наук, Владимирск. гос. педагогический ун-т, 2001
25.	Косухин О. Н., “Об оценках расстояний от полюсов наипростейших дробей до компактов”, Матер. Международн. научн. конф., посв. 105-летию акад. С. М. Никольского (МГУ им. М.В. Ломоносова, 17–19 мая г.), МГУ, М., 2010, 25
26.	Chunaev P., “Least deviation of logarithmic derivatives of algebraic polynomials from zero”, J. App. Theory, 185 (2014), 98–106
27.	Кондакова Е. Н., Интерполяция и аппроксимация наипростейшими дробями, Автореф. дис. $\dotsc$ канд. физ.-матем. наук, Саратов, 2012
28.	Данченко В. И., Чунаев П. В., “Об оценке мнимых частей полюсов наипростейших дробей с нормированной производной на действительной оси”, Современ. методы теории функций и смежные пробл., Матер. Воронежск. зимней матем. школы, 2013, 78
29.	Данченко В. И., “О сходимости наипростейших дробей в $L_p(\mathbb{R})$”, Матем. сб., 201:7 (2010), 53–66
30.	Каюмов И. Р., “Сходимость рядов наипростейших дробей в $L_p(\mathbb{ R})$”, Матем. сб., 202:10 (2011), 87–98
31.	Каюмов И. Р., “Необходимое условие сходимости наипростейших дробей в $L_p(\mathbb{R})$”, Матем. заметки, 92:1 (2012), 149–152
32.	Каюмов И. Р., “Интегральные оценки наипростейших дробей”, Изв. вузов. Матем., 2012, № 4, 33–45
33.	Каюмова А. В., “Сходимость рядов простых дробей в $L_p$”, Учeн. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 154, № 1, 2012, 208–213
34.	Протасов В. Ю., “Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта”, Изв. РАН. Сер. матем., 73:2 (2009), 123–140
35.	Бари Н. К., “Обобщение неравенства А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 18 (1954), 159–176
36.	Никольский С. М., “Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных”, Тр. МИАН, 38, 1951, 244–278
37.	Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, Физматгиз, М., 1960
38.	Chunaev P., Danchenko V., Sharp inequalities of Jackson–Nikolskii type for rational functions, 2016, arXiv: 1611.03485
39.	Данченко В. И., Додонов А. Е., “Оценки $L_p$-норм наипростейших дробей”, Изв. вузов. Матем., 2014, № 6, 9–19
40.	Додонов А. Е., “Неравенства разных метрик для наипростейших дробей”, Международн. конф. по матем. теории управления и механ., Тез. докл. (г. Суздаль, 7–11 июля 2017), 65
41.	Данченко В. И., Семин Л. А., “Точные квадратурные формулы и неравенства разных метрик для рациональных функций”, Сиб. матем. журн., 57:2 (2016), 282–296
42.	Danchenko V. I., Danchenko D. Ya., “Nikolskii type inequalities for simple partial fractions”, Комплексный анализ и его прилож., Матер. VII Петрозаводск. международн. конф. (Петрозаводск, 29 июня–5 июля 2014 г.), 2014, 33–37
43.	Danchenko V. I., Chunaev P. V., “Approximation by simple partial fractions and their generalizations”, J. Math. Sci., 176:6 (2011), 844–859
44.	Данченко В. И., Данченко Д. Я., “О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов”, Теория функций, ее прилож. и смежные вопр., Матер. школы-конф., посв. 130-летию Д. Ф. Егорова (Казань, 1999), 1999, 74–77
45.	Данченко В. И., Данченко Д. Я., “О приближении наипростейшими дробями”, Матем. заметки, 70:4 (2001), 553–559
46.	Косухин О. Н., О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами, Дисс. $\dotsc$ канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 2005
47.	Данченко В. И., Кондакова Е. Н., “Чебышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями”, Тр. МИАН, 270, 2010, 86–96
48.	Данченко В. И., Кондакова Е. Н., “Критерий возникновения особых узлов при интерполяции наипростейшими дробями”, Тр. МИАН, 278, 2012, 49–58
49.	Кондакова Е. Н., “Интерполяция наипростейшими дробями”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матем. Механ. Информатика, 9:2 (2009), 30–37
50.	Комаров М. А., “Критерий разрешимости задачи кратной интерполяции посредством наипростейших дробей”, Сиб. матем. журн., 55:4 (2014), 750–763
51.	Косухин О. Н., “Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей”, Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., механ., 4 (2001), 54–58
52.	Chui C. K., “On approximation in the Bers spaces”, Proc. Amer. Math. Soc., 40 (1973), 438–442
53.	Chui C. K., Shen X. C., “Order of approximation by electrostatic fields due to electrons”, Constr. Approx., 1:1 (1985), 121–135
54.	Korevaar J., “Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation”, Ann. Math. (2), 80:2 (1964), 403–410
55.	Korevaar J., “Limits of polynomials whose zeros lie in a given set”, Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., 11 (1968), 261–272
56.	Бородин П. А., “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы”, Матем. сб., 203:11 (2012), 23–40
57.	Бородин П. А., “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II”, Матем. сб., 207:3 (2016), 19–30
58.	Уолш Д. Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, М., 1961
59.	Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной математики, Физматлит, М., 1960
60.	Комаров М. А., “Аппроксимация посредством дробно-линейных преобразований наипростейших дробей и их разностей”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 3, 29–40
61.	Данченко В. И., “Об аппроксимативных свойствах сумм вида $\sum\limits_k\lambda_kh(\lambda_k z)$”, Матем. заметки, 83:5 (2008), 643–649
62.	Комаров М. А., “Критерий наилучшего приближения констант наипростейшими дробями”, Матем. заметки, 93:2 (2013), 209–215
63.	Комаров М. А., “Скорость наилучшего приближения констант наипростейшими дробями и альтернанс”, Матем. заметки, 97:5 (2015), 718–732
64.	Komarov M. A., “Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation”, J. Math. Sci., 175:3 (2011), 284–308
65.	Комаров М. А., “О неединственности наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения”, Изв. вузов. Матем., 2013, № 9, 28–37
66.	Комаров М. А., “Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 3–22
67.	Komarov M. A., “On the analog of Chebyshev theorem for simple partial fractions”, Комплексный анализ и его прилож., Матер. VII Петрозаводск. международн. конф. (Петрозаводск, 29 июня–5 июля 2014 г.), 2014, 65–69
68.	Новак Я. В., Апроксимацiйнi та iнтерполяцiйнi властивостi найпростiших дробiв, Дисс. $\dotsc$ канд. физ.-матем. наук, ИМ НАН Украины, Киев, 2009
69.	Komarov M. A., “Alternance and best uniform approximation of odd functions by simple partial fractions”, Комплексный анализ и его прилож., Матер. VIII Петрозаводск. междунар. конф. (Петрозаводск, 3–9 июля 2016 г.), 2016, 41–46
70.	Комаров М. А., “Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:3 (2017), 109–133
71.	Бородин П. А., Косухин О. Н., “О приближении наипростейшими дробями на действительной оси”, Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., механ., 1 (2005), 3–8
72.	Бородин П. А., “Приближение наипростейшими дробями на полуоси”, Матем. сб., 200:8 (2009), 25–44
73.	Fryantsev A. V., “On numerical approximation of differential polynomials”, J. Math. Sci., 157:3 (2009), 395–399
74.	Фрянцев A. В., “О численной аппроксимации дифференциальных полиномов”, Изв. Саратовск. ун-та. Нов. сер. Сер. Матем. Механ. Информатика, 7:2 (2007), 39–43
75.	Фрянцев A. В., “О полиномиальных решениях линейных дифференциальных уравнений”, УМН, 63:3 (2008), 149–150
76.	Чунаев П. В., “Об одном нетрадиционном методе аппроксимации”, Тр. МИАН, 270, 2010, 281–287
77.	Чунаев П. В., “Об экстраполяции аналитических функций суммами вида $\sum\limits_k \lambda_k h (\lambda_k z)$”, Матем. заметки, 92:5 (2012), 794–797
78.	Danchenko V. I., Chunaev P. V., “Approximation by amplitude and frequency sums”, Joint CRM-ISAAC Conf. on Fourier Anal. and App. Theory, Abstracts (Bellaterra, 2013), 2013, 12
79.	Chunaev P., Danchenko V., “Approximation by amplitude and frequency operators”, J. Approx Theory, 207 (2016), 1–30
80.	Данченко В. И., Чунаев П. В., “Об аппроксимации посредством частотно-амплитудных сумм”, Международн. Казанск. летняя школа-конф. (Казань, 22–28 августа 2013 г.), Теория функций, ее прилож. и смежные вопр., 46, 2013, 174–175
81.	Kung J. P.S., “Canonical forms of binary forms: Variations on a theme of Sylvester”, Invariant theory and tableaux (Minneapolis, MN, 1988), IMA V. Math. Appl., 19, 1990, 46–58
82.	Lyubich Y. I., “Gauss type complex quadrature formulae, power moment problem and elliptic curves”, Матем. физ., анал., геом., 9:2 (2002), 128–145
83.	Lyubich Y. I., “The Sylvester–Ramanujan system of equations and the complex power moment problem”, Ramanujan J., 8 (2004), 23–45
84.	Prony R., “Sur les lois de la dilatabilité des fluides élastiques et sur celles de la force expansive de la vapeur de l'eau et de la vapeur de l'alkool, à différentes températures”, J. de l'Ecole Polytech., 2:4 (1795), 28–35
85.	Ramanujan S., “Note on a set of simultaneous equations”, J. Indian Math. Soc., 4 (1912), 94–96
86.	Sylvester J. J., “On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants”, Phil. Magazine, 2 (1851), 391–410
87.	Danchenko V. I., Vasilchenkova D. G., Extraction of harmonics from trigonometric polynomials by amplitude and phase operators, 2016, arXiv: 1606.08716
88.	Vasilchenkova D. G., Danchenko V. I., “Extraction of harmonics from trigonometric polynomials by amplitude and phase transformation”, Комплексный анализ и его прилож., Матер. VIII Петрозаводск. международн. конф. (Петрозаводск, 3–9 июля 2016 г.), 2016, 93–95
89.	Васильченкова Д. Г., Данченко В. И., “Фильтрация тригонометрических многочленов амплитудно-фазовыми операторами”, Международн. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам, Тез. докл. (Суздаль, 8–12 июля 2016 г.), 2016, 40–41
90.	Васильченкова Д. Г., Данченко В. И., “Оценки гармоник тригонометрических многочленов”, Международн. конф. по матем. теории управления и механике, Тез. докл. (Суздаль, 7–11 июля 2017 г.), 2017, 48–49
91.	Белов А. С., “Некоторые свойства и оценки для неотрицательных тригонометрических полиномов”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:4 (2003), 3–20
92.	Белов А. С., Конягин С. В., “Об оценке свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома с целыми коэффициентами”, Изв. РАН. Сер. матем., 60:6 (1996), 31–90
93.	Данченко В. И., Данченко Д. Я., “Оценки сумм двух гармоник тригонометрических многочленов”, Международн. конф. по матем. теории управления и механ., Тез. докл. (Суздаль, 7–11 июля 2017 г.), 2017, 62–63
94.	Данченко В. И., Данченко Д. Я., “Выделение пар гармоник из тригонометрических многочленов амплитудно-фазовым оператором”, Теория функций, ее прилож. и смежные вопр., XIII Международн. Казанск. летняя школа-конф. (Казань, 21–27 августа 2017 г.), 2017, 143–145
95.	Гарнетт Дж., Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984
96.	Кусис П., Введение в теорию пространств $H^{p}$, Мир, М., 1984
97.	Dodonov A. E., “On convergence of series of simple partial fractions in $L_p(\mathbb{R})$”, J. Math. Sci., 210:5 (2015), 648–653
98.	Данченко В. И., Оценки отклонения от действительной оси нулей многочлена с нормированной логарифмической производной, Деп. ВИНИТИ, № 2990-91, 1991
99.	Данченко В. И., Оценки мнимых частей полюсов логарифмических производных многочленов, Деп. ВИНИТИ, № 1695-92, 1992
100.	Данченко В. И., “О скорости приближения к действительной оси полюсов нормированных логарифмических производных полиномов”, Докл. РАН, 330:1 (1993), 15–16
101.	Warschawski S. E., “On differentiability at the boundary in conformal mapping”, Proc. Amer. Math. Soc., 12:4 (1961), 615–620
102.	Золотарев Е. И., Полное собрание сочинений, т. 2, Физ.-матем. ин-т им. В. А. Стеклова АН СССР, Изд-во АН СССР, Л., 1932
103.	Гончар А. А., “О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями”, Матем. сб., 78 (120):4 (1969), 640–654
104.	Данченко В. И., “Интегральные оценки длин линий уровня рациональных функций и задача Е. И. Золотарева”, Матем. заметки, 94:3 (2013), 331–337
105.	Буланов А. П., “Асимптотика для наименьших уклонений функции $\mathrm{sign}\,x$ от рациональных функций”, Матем. сб., 96 (138):2 (1975), 171–188
106.	Данченко В. И., “О разделении особенностей мероморфных функций”, Матем. сб., 125 (167):2(10) (1984), 181–198
107.	Гончар А. А., Григорян Л. Д., “Об оценках норм голоморфной составляющей мероморфной функции”, Матем. сб., 99 (1976), 634–638
108.	Гончар А. А., Григорян Л. Д., “Об оценке компонент ограниченных аналитических функций”, Матем. сб., 132 (1987), 299–303
109.	Григорян Л. Д., “Оценка нормы голоморфных составляющих мероморфных функций в областях с гладкой границей”, Матем. сб., 100 (142):1(5) (1976), 156–164
110.	Новак Я. В., “О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями”, Матем. заметки, 84:6 (2008), 882–887
111.	Кондакова Е. Н., “Особые случаи интерполяции посредством наипростейших дробей”, Международн. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам, Тез. докл. (Суздаль, 2010 г.), 2010, 105–106
112.	Komarov M. A., “Interpolation of rational functions by simple partial fractions”, J. Math. Sci., 181:5 (2012), 600–612
113.	Курош А. Г., Курс высшей алгебры, Физматлит, М., 1963
114.	Новак Я. В., “Критерiй iснування неперервних похiдних у функцiй з класу $L_p$ на вiдрiзку в термiнах локальних наближень найпростiшими дробами”, Доповiдi НАН Украïни, 5 (2009), 36–40
115.	Морозов А. Н., “Об одном описании пространств дифференцируемых функций”, Матем. заметки, 70:5 (2001), 758–768
116.	Komarov M. A., “Examples related to best approximation by simple partial fractions”, J. Math. Sci., 184:4 (2012), 509–523
117.	Komarov M. A., “Sufficient condition for the best uniform approximation by simple partial fractions”, J. Math. Sci., 189:3 (2013), 482–489
118.	Данченко В. И., Данченко Д. Я., “О единственности наипростейшей дроби наилучшего приближения”, Международн. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам, Тез. докл. (Суздаль, 2010 г.), 2010, 71–72
119.	Новак Я. В., “Критерiй типу Колмогорова для найпростiших дробiв”, Збiрник праць Iн-ту матем. НАН Украïни, 7:2 (2010), 385–392
120.	Колмогоров А. Н., “Замечание по поводу многочленов П. Л. Чебышева, наимение уклоняющихся от заданой функции”, УМН, 3:1 (1948), 216–221
121.	Komarov M. A., “An analog of the Haar condition for simple partial fractions”, J. Math. Sci., 208:2 (2015), 174–180
122.	Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, Наука, М., 1965
123.	Минк Х., Перманенты, Мир, М., 1982
124.	Danchenko V. I., Dodonov A. E., “Estimates for exponential sums. Applications”, J. Math. Sci., 188:3 (2013), 197–206
125.	Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, Наука, М., 1967
126.	Ash J. M., Janson S., Jones R. L., “Optimal numerical differentiation using $N$ function evaluations”, Calcolo, 21:2 (1984), 151–169
127.	Lyness J. N., “Differentiation formulas for analytic functions”, Math. Comp., 22 (1968), 352–362
128.	Lyness J. N., Moler C. B., “Numerical differentiation of analytic functions”, SIAM J. Numer. Anal., 4 (1967), 202–210
129.	Salzer H. E., “Optimal points for numerical differentiation”, Num. Math., 2:1 (1960), 214–227
130.	Salzer H. E., “Formulas for best extrapolation”, Num. Math., 18 (1971), 144–153
131.	Nigmatyanova Yu.M., “Numerical analysis of the method of differentiation by means of real $h$-sums”, J. Math. Sci., 224:5 (2017), 735–743