RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Успехи математических наук

УМН, 2024, том 79, выпуск 1(475), страницы 59–134 (Mi rm10162)

Формулы Вороного и задача Гаусса
Д. А. Попов

Список литературы

1. E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, v. 2, Hierzel, Leipzig, 1927, viii+308 pp.  mathscinet  zmath
2. Е. К. Титчмарш, Теория дзета-функции Римана, ИЛ, М., 1953, 409 с.; пер. с англ.: E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, Clarendon Press, Oxford, 1951, vi+346 с.  mathscinet  zmath
3. A. Ivić, The Rieman zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, Wiley-Intersci. Publ., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1985, xvi+517 pp.  mathscinet  zmath
4. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, 2-е изд., Наука, М., 1983, 240 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Karatsuba, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, 1993, xiv+222 с.  crossref  mathscinet  zmath
5. E. Krätzel, Lattice points, Math. Appl. (East European Ser.), 33, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988, 320 pp.  mathscinet  zmath
6. Kai-Man Tsang, “Recent progress on the Dirichlet divisor problem and the mean square of Riemann zeta-function”, Sci. China Math., 53:9 (2010), 2561–2572  crossref  mathscinet  zmath
7. Д. А. Попов, “Проблема круга и спектр оператора Лапласа на замкнутых двумерных многообразиях”, УМН, 74:5(449) (2019), 145–162  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “Circle problem and the spectrum of the Laplace operator on closed 2-manifolds”, Russian Math. Surveys, 74:5 (2019), 909–925  crossref  adsnasa
8. А. Г. Постников, Введение в аналитическую теорию чисел, Наука, М., 1971, 416 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. G. Postnikov, Introduction to analytic number theory, Transl. Math. Monogr., 68, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, vi+320 с.  crossref  mathscinet  zmath
9. E. Bombieri, H. Iwaniec, “On the order of $\zeta(\frac{1}{2}+it)$”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 13:3 (1986), 449–472  mathscinet  zmath
10. S. W. Graham, G. Kolesnik, Van der Corput's method of exponential sums, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 126, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991, vi+120 pp.  crossref  mathscinet  zmath
11. M. N. Huxley, Area, lattice points, and exponential sums, London Math. Soc. Monogr. (N. S.), 13, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1996, xii+494 pp.  mathscinet  zmath
12. G. Kolesnik, “On the method of exponential pairs”, Acta Arith., 45:2 (1985), 115–143  crossref  mathscinet  zmath
13. H. Iwaniec, C. J. Mozzochi, “On the divisor and circle problems”, J. Number Theory, 29:1 (1988), 60–93  crossref  mathscinet  zmath
14. Xiaochun Li, Xuerui Yang, An improvement on Gauss's circle problem and Dirichlet's divisor problem, 2023, 32 pp., arXiv: 2308.14859v1
15. Г. Ф. Вороной, “О разложении посредством цилиндрических функций двойных сумм $\sum f(pm^2+2qmn+rn^2)$, где $pm^2+2qmn+rn^2$ – положительная форма с целыми коэффициентами”, Собрание сочинений, т. 2, Изд-во АН УССР, Киев, 1952, 166–170; пер. с фр.: G. Voronoï, “Sur le développement, à l'aide des fonctions cylindriques, des sommes doubles $\sum f(pm^2+2qmn+rn^2)$, où $pm^2+2qmn+rn^2$ est une forme positive à coefficients entiers”, Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses (Heidenberg, 1904), Teubner, Leipzig, 1905, 241–245  zmath
16. G. H. Hardy, “On the expression of number as the sum of two squares”, Quat. J. Pure Appl. Math., 46 (1915), 263–283  zmath
17. К. Айерлэнд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел, Мир, М., 1987, 416 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: K. F. Ireland, M. I. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Grad. Texts in Math., 84, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1982, xiii+341 с.  mathscinet  zmath
18. Э. Гекке, Лекции по теории алгебраических чисел, Гостехиздат, М.–Л., 1940, 260 с.; пер. с нем.: E. Hecke, Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen, Akad. Verlagsges., Leipzig, 1923, viii+265 pp.  mathscinet  zmath
19. С. Бохнер, Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, М., 1962, 360 с.  zmath; пер. с англ.: S. Bochner, Lectures on Fourier integrals, With an author's supplement on monotonic functions, Stieltjes integrals, and harmonic analysis, Ann. of Math. Stud., 42, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1959, viii+333 с.  crossref  mathscinet  zmath
20. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.; пер. с англ.: G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, England; The Macmillan Co., New York, 1944, vi+804 с.  mathscinet  zmath
21. Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, ГИТТЛ, М., 1948, 479 с.; пер. с англ.: E. C. Titchmarsh, Introduction to the theory of Fourier integrals, Oxford, Clarendon Press, 1937, x+390 с.  mathscinet  zmath
22. G. H. Hardy, M. Reisz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., 18, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1964, vii+78 pp.  mathscinet  zmath
23. Д. А. Попов, “О спектре оператора Лапласа на замкнутых поверхностях”, УМН, 77:1(463) (2022), 91–108  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “Spectrum of the Laplace operator on closed surfaces”, Russian Math. Surveys, 77:1 (2022), 81–97  crossref  adsnasa
24. G. H. Hardy, E. Landau, “The lattice points of a circle”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 105:731 (1924), 244–258  crossref  zmath
25. К. Прахар, Распределение простых чисел, Мир, М., 1967, 511 с.  mathscinet  zmath; пер. с нем.: K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1957, x+415 pp.  mathscinet  zmath
26. К. Чандрасекхаран, Арифметические функции, Наука, М., 1975, 272 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: K. Chandrasekharan, Arithmetical functions, Grundlehren Math. Wiss., 167, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1970, xi+231 с.  crossref  mathscinet  zmath
27. М. Абрамовиц, И. Стиган (ред.), Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Наука, М., 1979, 831 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: M. Abramowitz, I. A. Stegun (eds.), Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 55, Superintendent of Documents, U.S. Government Printing Office, Washington, DC, 1964, xiv+1046 с.  mathscinet  zmath
28. Г. Бэйтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966, 295 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, Based, in part, on notes left by H. Bateman, т. 2, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York–Toronto–London, 1953, xvii+396 с.  mathscinet  zmath  adsnasa
29. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, рядов и произведений, 7-е изд., БХВ-Петербург, СПб., 2011, 1176 с.; пер. с англ.: I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products, 7th ed., Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2007, xlviii+1171 с.  mathscinet  zmath
30. W. G. Nowak, “Lattice points of a circle: an improved mean-square asymptotics”, Acta Arith., 113:3 (2004), 259–272  crossref  mathscinet  zmath
31. Yuk-Kam Lau, Kai-Man Tsang, “On the mean square formula of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 146:2 (2009), 277–287  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
32. H. L. Montgomery, R. C. Vaughan, “Hilbert's inequality”, J. London Math. Soc. (2), 8 (1974), 73–82  crossref  mathscinet  zmath
33. Kai-Man Tsang, “Higher-power moments of $\Delta(x)$, $E(t)$ and $P(x)$”, Proc. London Math. Soc. (3), 65:1 (1992), 65–84  crossref  mathscinet  zmath
34. Wenguang Zhai, “On higher-power moments of $\Delta(x)$”, Acta Arith., 112:4 (2004), 367–395  crossref  mathscinet  zmath; II, 114:1 (2004), 35–54  crossref  mathscinet  zmath; III, 118:3 (2005), 263–281  crossref  mathscinet  zmath
35. A. Ivić, “Large values of the error term in the divisor problem”, Invent. Math., 71:3 (1983), 513–520  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
36. D. R. Heath-Brown, “The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 60:4 (1992), 389–415  crossref  mathscinet  zmath
37. G. H. Hardy, “On Dirichlet's divisor problem”, Proc. London Math. Soc. (2), 15 (1916), 1–25  crossref  mathscinet  zmath
38. G. H. Hardy, “The average order of the arithmetical functions $P(x)$ and $\Delta(x)$”, Proc. London Math. Soc. (2), 15 (1916), 192–213  crossref  mathscinet  zmath
39. K. S. Gangadharan, “Two classical lattice point problems”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57:4 (1961), 699–721  crossref  mathscinet  zmath
40. S. Soundararajan, “Omega results for the divisor and circle problems”, Int. Math. Res. Not., 2003:36 (2003), 1987–1998  crossref  mathscinet  zmath
41. D. R. Heath-Brown, K. Tsang, “Sign changes of $E(t)$, $\Delta(x)$, and $P(x)$”, J. Number Theory, 49:1 (1994), 73–83  crossref  mathscinet  zmath
42. М. Кац, Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, ИЛ, М., 1963, 156 с.  zmath; пер. с англ.: M. Kac, Statistical independence in probability, analysis and number theory, Carus Math. Monogr., 12, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1959, xiv+93 с.  mathscinet  zmath
43. Yuk-Kam Lau, Kai-Man Tsang, “Moments over short intervals”, Arch. Math. (Basel), 84:3 (2005), 249–257  crossref  mathscinet  zmath
44. P. M. Bleher, Zheming Cheng, F. J. Dyson, J. L. Lebowitz, “Distribution of the error term for the number of lattice points inside a shifted circle”, Comm. Math. Phys., 154:3 (1993), 433–469  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
45. Yuk-Kam Lau, “On the tails of the limiting distribution function of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 100:4 (2001), 329–337  crossref  mathscinet  zmath
46. Д. А. Попов, “Оценки и поведение величин $P(x)$, $\Delta(x)$ на коротких интервалах”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 230–246  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, “Bounds and behaviour of the quantities $P(x)$ and $\Delta(x)$ on short intervals”, Izv. Math., 80:6 (2016), 1213–1230  crossref  adsnasa
47. A. Ivić, P. Sargos, “On the higher moments of the error term in the divisor problem”, Illinois J. Math., 51:2 (2007), 353–377  crossref  mathscinet  zmath
48. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. I, Grundlehren Math. Wiss., 256, Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983, ix+391 с.  crossref  mathscinet  zmath
49. O. Robert, P. Sargos, “Three-dimensional exponential sums with monomials”, J. Reine Angew. Math., 2006:591 (2006), 1–20  crossref  mathscinet  zmath
50. M. Jutila, “On the divisor problem for short intervals”, Ann. Univ. Turku. Ser. A I, 1984, no. 186, 23–30  mathscinet  zmath
51. A. Ivić, Wenguang Zhai, “On the Dirichlet divisor problem in short intervals”, Ramanujan J., 33:3 (2014), 447–465  crossref  mathscinet  zmath
52. М. А. Королев, Д. А. Попов, “Об интеграле Ютилы в проблеме круга”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:3 (2022), 3–46  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. A. Korolev, D. A. Popov, “On Jutila's integral in the circle problem”, Izv. Math., 86:3 (2022), 413–455  crossref  adsnasa
53. A. Ivić, “On the divisor function and the Riemann zeta-function in short intervals”, Ramanujan J., 19:2 (2009), 207–224  crossref  mathscinet  zmath
54. Д. А. Попов, Д. В. Сушко, “Численное исследование свойств остаточного члена в проблеме круга”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 62:12 (2022), 2002–2017  mathnet  crossref  zmath; англ. пер.: D. A. Popov, D. V. Sushko, “Numerical investigation of the properties of remainder in Gauss's circle problem”, Comput. Math. Math. Phys., 62:12 (2022), 2008–2022  crossref  mathscinet  adsnasa


© МИАН, 2025