Классическая теория Галуа преобразила средневековую алгебру – науку о решении уравнений – в современную. Занимаясь проблемой разрешимости уравнений в радикалах, французский математик Эварист Галуа (1811–1832) заложил основы теории групп и полей.
Итальянские математики XVI века (дель Ферро, Тарталья, Феррари) научились решать урав-
нения 3-й и 4-й степени. Их результаты привели к открытию комплексных чисел, а Франсуа Виет, вдохновлённый "Великим искусством" Джероламо Кардано, создал современную алгебраическую символику.
Общих формул для уравнений 5-й степени никто найти не мог, и лишь в начале XIX века Нильс Абель доказал, что общие уравнения степени ≥ 5 неразрешимы в радикалах; доказательство Паоло Руффини 1799 года содержало пробел. (Отметим, что в те же годы Гаусс разными способами доказал "основную теорему алгебры".) Руффини и Абель опирались на идеи Луи Лагранжа, который первый систематически исследовал перестановки корней уравнений и разработал теорию групп перестановок. Созданный Лагранжем метод резольвент решения уравнений универсальным не был, зато вплотную приблизил задачу к окончательному решению. Критерий разрешимости уравнений в радикалах установил Галуа, введя понятия группы, нормальной подгруппы, нормального расширения и разрешимой группы.
Позднее идеи Галуа развивались и обобщались в разных направлениях и не только алгебраических.
Мы познакомим слушателей с основными понятиями и результатами классической теории Галуа. Изложение будет сопровождаться большим числом примеров и задач. Курс рассчитан на слушателей, владеющих алгеброй в объёме первого семестра математических факультетов.
Программа курса
- Решение уравнений третьей и четвёртой степеней.
- Метод резольвент Лагранжа решения уравнений. Теоремы Лагранжа.
- Теорема Абеля–Руффини о неразрешимости общего уравнения степени ≥ 5.
- Теорема Кронекера о неразрешимости одного класса уравнений над Z.
- Построение правильных многоугольников. Периоды Гаусса. Критерий разрешимости в квадратных радикалах.
- Группа Галуа. Соответствия Галуа. Основная теорема теории Галуа.
- Группа Галуа двучлена. Метациклическая группа.
- Группы Галуа многочленов степени ≤ 4 и разрешимых многочленов степени 5.
- Циклические расширения. Теорема Артина–Шрайера.
- Критерий разрешимости в радикалах в характеристике 0 (разрешимость группы Галуа).
- Новые доказательства теорем Абеля–Руффини и Кронекера. Многочлены над Z с группой Галуа Sn.
- Критерий Абеля–Галуа разрешимости неприводимого уравнения простой степени.
- Многочлены с наперёд заданной конечной абелевой группой Галуа. Теорема Кронекера–Вебера: всякое конечное абелево расширение поля Q вкладывается в круговое.
- Вычисление группы Галуа с помощью резольвентных многочленов.
- Теория Галуа конечных полей. Вычисление группы Галуа с помощью редукции по простому модулю.
Список литературы
- Э. Артин. Теория Галуа. МЦНМО, 2008.
- Б. Л. ван дер Варден. Современная алгебра.
- Э. Б. Винберг. Курс алгебры. МЦНМО, 2011.
- А. И. Кострикин. Введению в алгебру. Основные структуры. Физматлит, 2001.
- М. М. Постников. Теория Галуа. Физматлит, 1963.
- В. В. Прасолов. Многочлены. МЦНМО, 2001.
- В. В. Прасолов, Ю. П. Соловьёв. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. Факториал, 1997.
- Н. Г. Чеботарёв. Теория Галуа. URSS, 2009.
RSS: Ближайшие семинары
Руководитель
Канунников Андрей Леонидович
|