Хорошо известно, что с помощью теоремы компактности для классической логики предикатов, также известной как локальная теорема Гёделя–Мальцева, можно легко получить нестандартные модели многих теорий. Более того, от нестандартных моделей практически невозможно избавиться: всякий раз, когда кажется, что их удалось исключить (например, посредством добавления новых аксиом), они возвращаются в более утончённом виде. В частности, даже у полной теории стандартном модели арифметики есть счётные нестандартные – точнее, не изоморфные стандартной – модели. При этом, в силу теоремы о полноте для классической логики предикатов, выводимость предложения в данной теории равносильна его истинности во всех моделях этой теории. Стало быть, изучение (не)выводимости в различных теориях тесным образом связано с изучением их нестандартных моделей.

Вместе с тем нестандартные модели могут иметь интересные приложения, выходящие далеко за пределы математической логики. Яркий пример – использование нестандартных моделей для строгого обоснования инфинитезимального («нестандартного») анализа, которое было предложено Абрахамом Робинсоном и позволило полностью легитимизировать метод актуальных бесконечно малых.

Настоящий курс представляет собой доступное введение в нестандартные модели арифметика и анализа. От слушателей ожидается лишь знакомство с основными теоретико-модельными понятиями классической логики предикатов.

Лектор
Сперанский Станислав Олегович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)