Курс А. Г. Сергеева "Математические методы в физике твердого тела"

СЕМИНАРЫ

Курс А. Г. Сергеева "Математические методы в физике твердого тела"
22 сентября–1 декабря 2023 г., МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8), г. Москва

Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.

Целью курса является знакомство с математическими и — в первую очередь — топологическими методами, применяемыми в теории твёрдого тела. Роль топологии в физике твёрдого тела проявилась в полной мере при исследовании квантового эффекта Холла. Вскоре после его открытия фон Клитцингом в 1980 году появились публикации Лафлина и Таулесса с соавторами, в которых предлагалось топологическое объяснение этого эффекта.

Ключевую роль в исследовании топологических свойств твёрдых тел играет изучение их групп симметрий. Описание возможных типов симметрий восходит к Китаеву, который предложил классификацию топологических объектов, основанную на теории представлений клиффордовых алгебр. Вслед за алгебрами Клиффорда последовала $K$-теория, в терминах которой естественно формулируются топологические свойства твёрдых тел.

В курсе будут представлены приложения указанных математических дисциплин в физике твёрдого тела. Вначале мы напомним основные положения теории Блоха, описывающей свойства твёрдых тел, обладающих кристаллической решёткой. Затем построим алгебру наблюдаемых топологических объектов и возникающих классов симметрий.

Далее дадим описание алгебры наблюдаемых в терминах $K$-теории градуированных $C^*$-алгебр и опишем топологические инварианты твердого тела. Алгебра граничных наблюдаемых также определяется в терминах $K$-теории, предложенной Каспаровым.

Завершается курс построением $BB$-соответствия между топологическими инвариантами тела и его границы.

Это соответствие допускает естественную формулировку в терминах $K$-теории. В частном случае периодической унитарной модели его можно описать явным образом.

Материалы курса:

ВВЕДЕНИЕ

I. $C^*$-АЛГЕБРЫ.

1.1. $C^*$-алгебры.
1.2. $C^*$-модули.
1.3. Тензорные произведения.
1.4. Операторы $A$-конечного ранга и $A$-компактные операторы.
1.5. Проекторы и унитарные операторы.

II. $K$-ТЕОРИЯ.

2.1. $K_0$ -группа.
2.2. Конструкция Гротендика.
2.3. $K_1$-группа.

III. НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

3.1. Спектральные тройки.
3.2. Фредгольмовы модули.
3.3. Теория индекса.
3.4. $K$-теория.

IV. ТЕОРИЯ БЛОХА.

4.1. Одночастичный оператор Шредингера.
4.2. Фермионное фоковское пространство.
4.3. Фермионное фоковское пространство твёрдого тела.
4.4. Приближение сильной связи.

V. АЛГЕБРА НАБЛЮДАЕМЫХ В ОБЛАСТИ.

5.1. Вещественные $C^*$-алгебры.
5.2. Локальные наблюдаемые.
5.3. Алгебра наблюдаемых в области.
5.4. Скрещенные произведения.
5.5. Градуированные $C^*$-алгебры.

VI. СИММЕТРИИ.

6.1. Клиффордовы алгебры.
6.2. Классы симметрий.
6.3. Псевдосимметрии.

VII. АЛГЕБРА НАБЛЮДАЕМЫХ В ОБЛАСТИ В ТЕРМИНАХ $K$-ТЕОРИИ.

7.1. $K$-теория.
7.2. Топологические инварианты в области.

VIII. АЛГЕБРА НАБЛЮДАЕМЫХ НА ГРАНИЦЕ.

8.1. Наблюдаемые на границе.
8.2. Фредгольмова $K$-теория.
8.3. Построение граничных классов.

IX. $BB$-СООТВЕТСТВИЕ.

9.1. Основная теорема и её следствия.
9.2. $BB$-соответствие в унитарном классе.
9.3. $BB$-соответствие для периодической модели.