Производная категория когерентных пучков — очень большой, но важный инвариант алгебраического многообразия. Изначально производные категории использовались скорее как технический инструмент для удобства работы с производными функторами и двойственностью Гротендика, но впоследствии оказалось, что производные категории когерентных пучков интересны и сами по себе.

Свойства производной категории сильно зависят от геометрии многообразия, но при этом для некоторых многообразий оказывается, что производные категории имеют на удивление понятную с алгебраической точки зрения структуру. Мы обсудим некоторые способы работать с производными категориями когерентных пучков и их базовые свойства.

От слушателей предполагается знание основ алгебраической геометрии (нужно знать, что такое когерентный пучок на алгебраическом многообразии), а также желательно знакомство со спектральными последовательностями.

Программа

Часть I: производные категории как инвариант многообразия.

1. Общий обзор курса. Триангулированные категории.
2. Производные категории когерентных пучков. Двойственность Серра.
3. Теорема Бондала-Орлова о реконструкции многообразия по производной категории.
4. Преобразования Фурье-Мукаи, эквивалентности производных категорий. Двойственность Мукаи.
5. Размерность Рукье, гипотеза Орлова о размерности.

Часть II: полуортогональные разложения производных категорий.

6. Исключительные объекты, исключительные наборы. Полустабильные расслоения на $\mathbb{P}^2$ по Дрезе и Ле Потье как экскурс в историю*.
7. Исключительный набор Бейлинсона. Перестройки исключительных наборов, двойственные наборы. Исключительные наборы на $\mathbb{P}^2$ (Городенцев-Рудаков)*.
8. Исключительный набор Капранова на грассманниане*. Другие исключительные наборы там же (Фонарёв, Кузнецов-Полищук).
9. Полуортогональные разложения. Разложение Орлова для раздутия и для проективизации расслоения.
10. Теорема Каватани-Окавы о жёсткости разложений, примеры неразложимых категорий.
11. Кубический форфолд, $K_3$-категории, гипотеза Кузнецова о рациональности.

* – темы могут быть пропущены в зависимости от интересов слушателей и количества свободного времени.

Записки лекций

Лектор
Пирожков Дмитрий Владимирович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)