Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
Стандартная модель арифметики — это структура натуральных чисел с операциями сложения и умножения. В силу теоремы компактности, у первопорядковой теории этой структуры есть счётные нестандартные — т.е. не изоморфные стандартной — модели. Изучение таких моделей проливает свет на вопросы (не)доказуемости арифметических утверждений, приводит к результатам о непротиворечивости и консервативности различных арифметических теорий и т.д.
Исследование арифметики Пеано и её естественных подсистем посредством теоретико-модельных методов — одна из наиболее развитых областей математической логики. Настоящий курс представляет собой введение в эту область. В частности, мы докажем теорему Тенненбаума о том, что у арифметики Пеано нет вычислимых нестандартных моделей, и теорему Париса–Харрингтона, дающую впечатляющий пример комбинаторного утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в $\mathsf{PA}$.
Программа
- Нестандартные модели арифметики: их существование и основные свойства. Описание порядка в нестандартных моделях арифметики.
- Экскурс в формальную арифметику.
- Начальные сегменты нестандартных моделей $\mathsf{PA}$. Теорема Париха о $\pi_2$-следствиях для подсистемы $I\Delta_0$.
- Подсистема $\mathsf{PA^-}$ и её модели. Теорема о том, что у каждой разрешимой теорий есть вычислимая модель, и её релятивизации.
- Теорема Тенненбаума и вариации на неё.
- Определимые элементы в моделях $\mathsf{PA}$. Простые модели для расширений $\mathsf{PA}$.
- Аксиомы ограниченности (коллекции). Подсистемы $I\Sigma_n$ и $I\Pi_n$.
- $\Sigma_n$-определимые элементы и $\Sigma_n$-элементарные начальные сегменты. Результаты о консервативности и независимости для подсистем $\mathsf{PA}$.
- Теоремы Париса–Харрингтона и Канамори–Макалуна.
Литература
[1] G.S. Boolos, J.P. Burgess, R.C. Jeffrey, Computability and Logic. 5th edition. Cambridge University Press, 2007.
[2] P. Hájek, P. Pudlák, Metamathematics of First-Order Arithmetic. Springer, 1993.
[3] R. Kaye, Models of Peano Arithmetic. Oxford University Press, 1991.
[4] R. Kossak, J. Schmerl, The Structure of Models of Peano Arithmetic. Oxford University Press, 2006.
 RSS: Ближайшие семинары
 Лекторы
Беклемишев Лев Дмитриевич
Сперанский Станислав Олегович
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
