Цель семинара — познакомить участников с современными методами субримановой геометрии на стыке геометрического и алгебраического подходов, с акцентом на её приложения: к нейронным сетям и управлении квантовыми системами.

Особое внимание будет уделено взаимосвязи между геометрической теорией управления, структурой подрасслоений и алгебраическими свойствами групп Ли, а также их роли в построении и анализе геодезических на субримановых многообразиях.

Семинар охватывает как классические результаты (например, теорему Рашевского-Чжоу и принцип максимума Понтрягина), так и новые направления (теорема Громова о нильпотентной аппроксимации и теорема Нагано-Суссмана об орбите). Участники получат целостное представление о геометрических и аналитических инструментах, лежащих в основе субримановой геометрии и их приложениях.

Программа
Ниже представлена расширенная версия программы, которая, скорее всего, не поместится в один семестр. Поэтому в первом семестре на семинаре будут рассмотрены темы 1-3. Если у слушателей будет интерес, то планируется продолжить семинар на второй семестр с программой, которая будет корректировкой пунктов 4-6, учитывающей интересы слушателей.

1. Основы и мотивация
1.1 Неголономность и теорема Фробениуса [2].
1.2 Определение субриманового многообразия [1].
1.3 Примеры: почти риманово многообразие, изопериметрические задачи и группа Гейзенберга [1], [3].
1.4 Три эквивалентных определения расстояния (отдельный текст)
1.5 Нейронные сети ResNet [17].
1.6 Теорема об орбите Нагано–Суссмана и теорема Рашевского-Чжоу [2].
1.7 Примеры. Управление N-уровневой квантовой системой при помощи 1- и 2- кубитных преобразований (отдельный текст).
1.8 Субфинслеровы и сублоренцевы многообразия [11].

2. Аппарат геометрической теории управления

2.1 Необходимое условие оптимальности — принцип максимума Понтрягина [2], [3].
2.2 Гамильтонов формализм. Лагранжев формализм [2], [3].
2.3 Уравнения кратчайших: нормальные и анормальные геодезические. Экстремали на группах Гейзенберга и Энгеля, автомобиль Ридса-Шеппа [2].
2.4 Гладкость нормальных геодезических. Экспоненциальное отображение [1].

3. Анализ экстремалей

3.1 Существование кратчайших (теорема Филиппова) [8], [2].
3.2 Локальная оптимальность строго нормальных экстремалей и сопряженные точки. Пример: группа Гейзенберга [2].
3.3 Пример Лиу-Суссмана строго анормальной кратчайшей [12].
3.4 Пример анормальной экстремали, которая не является оптимальной ни на каком подотрезке времени [14].
3.5 Проблема гладкости анормальных геодезических [14], [1], [18], [5], [10].
3.6 Дифференциальное включение Хсу [7].

4. Локальная геометрия и асимптотический анализ

4.1 Привилегированные координаты [1], [4].
4.2 Теорема о яблоке в ящике (ball-box theorem) [1], [4].
4.3 Размерность по Хаусдорфу субриманового многообразия. Хаусдорфова размерность группы Гейзенберга [1], [4].
4.4 Группы Карно и финслеровы структуры на них. Их размерность по Хаусдорфу [11].
4.5 Касательный конус и теорема Громова о нильпотентной аппроксимации [4], [1].

5. Алгебраическая структура и интегрируемость

5.1 Левоинвариантные задачи на группах Ли. Тривиализация касательного и кокасательного расслоений [1].
5.2 Гамильтонова редукция и вертикальная подсистема. Пример: группа Гейзенберга [1].
5.3 Пример: управление неголономными механическими системами, качение шара по плоскости, автомобиль Ридса-Шеппа [2].
5.4 Скобка Ли-Пуассона на коалгебре Ли, орбиты коприсоединенного представления, казимиры [9], [19].
5.5 Левоинвариантные уравнения на группах Гейзенберга, Энгеля, Картана, на группе SO(3) [16].
5.6 Интегрируемость уравнений на всех трехмерных группах Ли, на группах Энгеля и Картана. Интегрируемость на одной группе Карно с вектором роста (2,3,5,6) [16], [13].
5.7 Примеры: классификация уравнений на трехмерных группах ли, уравнения геодезических на всех этих группах и их интегрирование [1].

6. Разное

6.1 Теорема Пансу о дифференцируемости отображения групп Карно [15].
6.2 Объем Поппа [1].
6.3 Суб-лапласианы как гипоэллиптические операторы, условие Хермандера [6].
6.4 Кривизна в субримановой геометрии [14], [1].

Список литературы
[1] Agrachev A. A., Barillari D., Boscain U. A Comprehensive Introduction to Sub-Riemannian Geometry. Cambridge University Press, 2019. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 181).
[2] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2004.
[3] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
[4] Gromov M. Carnot-Carathéodory spaces seen from within. In: Sub-Riemannian geometry, Birkh¨auser, 1996. P. 79–323. (Progress in Mathematics, Vol. 144).
[5] Hakavuori E., Le Donne E. Non-minimality of corners in sub-riemannian geometry // Inventiones mathematicae, 206(3). 2016.
[6] Hörmander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Mathematica. 1967. Vol. 119. P. 147–171.
[7] Hsu L. Calculus of Variations via the Griffiths formalism, Differential Geometry, 1992, 36, p. 551-589.
[8] Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. (English translation: Filippov A. F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. Kluwer Academic Publishers, 1988).
[9] Кириллов А. А. Лекции по методу орбит. Н.: ИДМИ 2002.
[10] Lokutsievskiy L. V., Zelikin M.I., Derivatives of Sub-Riemannian Geodesics are Lp-Hölder Continuous, ESAIM: COCV, Volume 29, 2023.
[11] Le Donne E. Metric Lie Groups. Carnot-Carath´eodory Spaces from the Homogeneous Viewpoint.
[12] Liu W., Sussmann H. J. Shortest paths for sub-Riemannian metrics on rank-two distributions. AMS, v. 118, n. 564, 1995.
[13] Локуциевский Л. В., Сачков Ю. Л. Об интегрируемости по Лиувиллю субримановых задач на группах Карно глубины 4 и больше // Математический сборник. 2018. Т. 209, № 5. С. 74–119.
[14] Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries, their Geodesics and Applications. Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 91, 2002.
[15] Pansu P. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Annals of Mathematics. Second Series. 1989. Vol. 129, No. 1. P. 1–60.
[16] Сачков Ю.Л. Введение в геометрическую теорию управления. – М.: URSS, 2021, 160 C.
[17] Scagliotti A. Deep learning approximation of diffeomorphisms via linear-control systems // Mathematical Control and Related Fields, 2023, 13(3): 1226-1257. arXiv:2110.12393
[18] Chitour Y., Jean F., Monti R., Rifford L., Sacchelli L., Sigalotti M., Socionovo A. Not all sub-Riemannian minimizing geodesics are smooth, 2025, arXiv:2501.18920
[19] Больсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.

Руководитель семинара
Локуциевский Лев Вячеславович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)