Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
Это вводный курс по теории ортогональных многочленов Макдональда, двойным аффинным алгебрам Гекке (DAHA) и их роли в современной математике и физике. Мы начнём с основ теории Макдональда, введём кольцо симметричных функций, а также многочлены Шура и Макдональда. Ключевым моментом будет связь между многочленами Макдональда и операторами Чередника-Данкла, которые естественным образом возникают при изучении квантовых многочастичных систем — тригонометрических системах Руйсенаарса. Мы рассмотрим несимметричные обобщения Чередника для ортогональных многочленов и введём двойную аффинную алгебру Гекке (DAHA). Также мы изучим и рациональную версию, так называемую алгебру Чередника, обсудим приложения и связи с ортогональными многочленами, интегрируемыми системами и комбинаторикой. Подобные конструкции существуют и на эллиптическом уровне; они будут рассмотрены ближе к концу курса.
Программа
- Кольцо симметричных функций. Элементарные симметричные функции, полные симметричные функции и степенные суммы Ньютона. Многочлены Шура.
- Формулы Коши. Скалярное произведение на симметрических функциях. Ортонормированность многочленов Шура.
- Полиномы Макдональда, скалярное произведение, ортогональность. Разностные операторы Макдональда, их производящая функция. Самосорпяженность. Вырождение в полиномы Джека.
- Группы Кокстера и алгебры Гекке. Системы корней, группа Вейля, диаграммы Дынкина.
- Полиномы Макдональда для произвольной системы корней. Теорема существования. Гипотеза о норме, постоянный член.
- Скалярное произведение Чередника. Несимметричные многочлены Макдональда. Операторы Чередника-Данкла.
- Рациональные алгебры Чередника и операторы Данкла. Приложения к многочастичным интегрируемым системам.
- Аффинные группы Вейля и аффинные алгебры Гекке. Двойные аффинные алгебры Гекке и операторы Чередника.
- Интегрируемые системы Калоджеро и Макдональда-Руйсенарса. Связь операторов Данкла и матрицы Лакса.
- Эллиптические алгебры Чередника и эллиптические операторы Данкла. Приложения: эллиптическая система Калоджеро-Мозера, спиновая цепочка Иноземцева.
- Эллиптические операторы Чередника и системы Руйсенарса. $R$-матричные обобщения.
Литература
[1] I.G. Macdonald, Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. Vol. 12. American Mathematical Soc., 1998.
[2] I. Cherednik, Double Affine Hecke Algebras Vol. 319. Cambridge University Press, 2005.
[3] Kirillov Jr, A., Lectures on affine Hecke algebras and Macdonald’s conjectures. Bull. AMS 34, no. 3, 251-292, 1997.
[4] Etingof, P., Calogero-Moser systems and representation theory. Vol. 4. European Mathematical Society, 2007.
[5] Chalykh, O., Dunkl and Cherednik Operators. Encyclopedia of Mathematical Physics (Second edition), vol. 3, 309-327. Academic Press, 2025.
 RSS: Ближайшие семинары
 Лектор
Матушко Мария Георгиевна
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
