Основной целью этого курса является изложение математических методов, применяемых в физике твёрдого тела. Главными инструментами являются здесь $C^*$-алгебры и $K$-теория. Каждому из этих предметов отводится отдельная глава курса.

В главе, посвящённой теории $C^*$-алгебр, отдельное внимание уделяется градуированным и вещественным $C^*$-алгебрам. Важную роль в дальнейшем играют $C^*$-модули и инвариантные следы. C теорией $C^*$-алгебр тесно связаны $C^*$-динамические системы и скрещенные произведения. Мы также кратко напомним основы теории алгебр фон Неймана и $W^*$-динамических систем.

$K$-теория является естественным математическим языком для описания физики твёрдых тел. В главе, посвящённой этой теории, мы подробно рассматриваем как топологические, так и алгебраические $K$-группы.

Топологические инварианты твёрдых тел определяются исходя из понятия индекса $\mathcal T$-фредгольмовых операторов. Главные инварианты задаются коциклами Черна, определяемыми в терминах циклических когомологий.

Развитые математические методы прилагаются к теории твёрдого тела. Особый интерес представляет так называемое $BB$-соответствие, связывающее топологические инварианты твёрдого тела с топологическими инвариантами его границы.

Важную роль в физике твёрдого тела играет графен. Это твёрдое тело с шестиугольной кристаллической решёткой, в узлах которой располагаются атомы графита. Графен и его топологические свойства рассматриваются в последней главе курса.

ПРОГРАММА

I. ВВЕДЕНИЕ
II. ТЕОРИЯ БЛОХА
2.1. Одночастичный оператор Шредингера
2.2. Физическая интерпретация
2.3. Фермионное фоковское пространство
2.4. Фермионное фоковское пространство твёрдого тела
III. $C^*$-АЛГЕБРЫ
3.1. $C^*$-алгебры. Основные определения
3.2. Градуированные и вещественные $C^*$-алгебры
3.3. Клиффордовы алгебры
3.4. $C^*$-модули
3.5. $C^*$-динамические системы и скрещенные произведения
3.6. $W^*$-динамические системы
3.7. Инвариантные следы
IV. K-ТЕОРИЯ
4.1. $K_0$-группа
4.2. Конструкция Гротендика
4.3. Алгебраическая $K_0$-группа
4.4. $K_1$-группа
4.5. Алгебраическая $K_1$-группа
4.6. Высшие $K$-группы
V. ТЕОРИЯ ИНДЕКСА
5.1. Пространства гладких элементов
5.2. $\mathcal T$-фредгольмовы операторы
5.3 Циклические когомологии
5.4. Коциклы Черна и теплицевы операторы
5.5. Теплицевы продолжения
VI. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА
6.1. Алгебраическая интерпретация теории твёрдого тела
6.2. Полупространственные и граничные алгебры
6.3. Топологические инварианты твёрдого тела
6.4. Гладкое $BB$-соответствие
VII. ГРАФЕН
7.1. Структура графена
7.2. Топологические инварианты графена.

Лектор
Сергеев Армен Глебович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)