Программа курса:

1. Напоминание основных понятий, конструкций и приемов вычислений Вероятностное пространство и распределение вероятностей. Дискретные и непрерывные скалярные случайные величины. Кумулятивная функция распределения вероятности (к.ф.р.), функция плотности вероятности (ф.п.в.) и характеристическая функция распределения вероятности (х.ф.). Распределения и совместные распределения случайных величин, моменты. Маргинальные и условные распределения. Независимые случайные величины. Производящие функции (п.ф.) распределения вероятности и моментов. Поведение п.ф., х.ф., мат. ожидания и дисперсии при сложении независимых случайных величин. Логарифм х.ф. (характеристический показатель) и кумулянты случайной величины.

2. Цепи Маркова в дискретном времени Цепь Маркова с конечным числом состояний. Граф цепи Маркова и матрица вероятностей перехода. Стационарное распределение цепи Маркова. Принцип детального равновесия, обратимые цепи Маркова. Классификация состояний однородной цепи Маркова.

   Эргодическая теорема для конечных однородных цепей Маркова. Существование и единственность стационарного распределения в общей неприводимой непериодической цепи Маркова, структура множества стационарных распределений в общем случае.

3. Цепи Маркова в непрерывном времени и процесс Пуассона Предельный переход к непрерывному времени в цепи Маркова. Стохастические матрицы и генераторы, определение стационарного состояния в терминах генератора. Матричная экспонента и другие функции от матриц, приемы их вычисления. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.

   Пуассоновский поток. Прореживание пуассоновских потоков. Суперпозиция пуассоновских потоков. Помеченный пуассоновский поток. Пуассоновские точечные поля (однородные и неоднородные). Характеристический функционал пуассоновского поля, теорема Кэмпбелла и ее обобщения.

4. Процессы рождения и гибели Марковский процесс рождения в непрерывном времени. Взрыв, критерий взрыва в терминах интенсивностей перехода. Минимальное решение уравнений Колмогорова для взрывного процесса. Процессы рождения и гибели, взрывы в них. Вложенная цепь Маркова. Возвратность и невозвратность. Стационарное состояние. Обратимые процессы рождения-гибели.

   Применение к теории очередей. Оценка среднего времени ожидания заявки в очереди. Сети с очередями Джексона.

   Принципы больших уклонений для процесса рождения и гибели и для сети Джексона.

5. Основы общей теории случайных процессов Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр. Вероятностное пространство Штейнгауза.

   Задание случайного процесса иерархией функций распределения. Условия согласования многовременных распределений, теорема Колмогорова (без доказательства). Марковские процессы. Уравнение Смолуховского.

   Мартингалы и субмартингалы. Разложение Дуба. Основные конструкции случайных процессов, являющихся мартингалами и субмартингалами. Сходимость субмартингалов.

6. Стационарные случайные процессы Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности. Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, ?белый? и ?цветной? шум.

   Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем.

7. Гауссовские случайные процессы Случайное блуждание и процесс Винера как его предел. Диффузионные процессы и уравнение Фоккера-Планка (с выводом). Краевые условия для уравнения Фоккера-Планка. Распределение времени выхода. Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.

   Гауссовский случайный процесс (общее определение). Гильбертово пространство, связанное с общим гауссовским процессом. Корреляции гауссовского процесса и метрика на пространстве параметра. Большие уклонения в гауссовских процессах.

   Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастическое дифференциальное исчисление Ито.

Организации
Независимый Московский университет