Курс А.Л.Городенцева «Алгебра, семестр 3», второй курс, осенний семестр 2014/2015 года 1 сентября–31 декабря 2014 г., НМУ, Б. Власьевский пер., 11, г. Москва
Программа курса:
Тема 1. Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом, стандартные изомор физмы. Тензорные произведения абелевых групп.
Тема 3. Симметричные и кососимметричные тензоры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Задание многообразий Веронезе и Грассмана квадратичными уравнениями.
Тема 4. Кольцо симметрических функций. Производящие функции стандартных базисов
$m_\lambda$, $e_\lambda$, $h_\lambda$, $p_\lambda$ и переходы между ними. Детерминантные многочлены Шура, формулы Джамбелли и
Пьери (выражение $s_\lambda$ через $h_k$, а $s_\lambda \cdot h_k$ — через $s_\mu$).
Тема 5. Пространства с операторами: приводимость, разложимость, лемма Шура. Полупростые модули над ассоциативной алгеброй: теорема плотности, теорема о двойном централизаторе, теорема Бернсайда.
Тема 6. Представления конечных групп: полупростота групповой алгебры, теория характеров, кольцо представлений, (ко)индуцирование, двойственность Фробениуса.
Тема 7. Категории и функторы. Категория функторов, представимость, лемма Ионеды. Сопряжённые функторы. Пределы диаграмм. Примеры: предпучки, симплициальные множества, геометрические реализации и сингулярные цепи, [послойные] (ко)произведения и (ко)индуцирование
представлений и т. д. и т. п.
Тема 8. Исчисление массивов, таблиц и диаграмм, теорема о биекции и её следствия (тождества
Коши и Шура, соотношения на количества таблиц и т. п.). DU-множества и DU-орбиты, комбинаторные полиномы Шура, правило Литтлвуда – Ричардсона, тождество Якоби – Труди (равенство
детерминантных и комбинаторных полиномов Шура).
Тема 9. Представления симметрических групп: симметризаторы Юнга, модули Шпехта, формула
Фробениуса для характеров. Кольцо представлений симметрических групп, функторы Шура.
Классическая двойственность Шура – Вейля (если позволит время).
Организации