Программа курса

1. Действия компактных групп на гладких многообразиях. Главные орбиты, многообразия неподвижных точек. Веса действия в неподвижных точках. Почти комплексные многообразия и почти комплексные действия групп.
2. Симплектические многообразия. Теорема Дарбу и ее эквивариантный аналог. Линейная теория: связь с почти комплексной и эрмитовой структурой. Примеры: кокасательное расслоение, кэлеровы многообразия, орбиты коприсоединенных представлений. Многообразие Кодаиры–Терстона, теорема о симплектическом вложении (формулировка), пример МакДафф односвязного некэлерова симплектического многообразия.
3. Симплектические и гамильтоновы действия компактного тора, отображение моментов. Симплектическая редукция. Теорема Атьи–Гийемина–Стернберга: образ отображения моментов является выпуклым многогранником. Симплектические действия тора половинной размерности, теорема Дельзанта, дельзантовы многогранники.
4. Торические многообразия. Конусы и аффинные торические многообразия, веера, неособые и симплициальные веера. Орбиты, морфизмы, дивизоры. Конструкция Кокса (категорный фактор) и однородные координаты. Торические многообразия, происходящие из многогранников, и их проективные вложения.
5. Когомологии торических многообразий (теорема Данилова–Юркевича). Классы Черна и классы Понтрягина. Классы Черна торических многообразий, теорема Берштейна–Кушниренко–Хованского (если успеем).
6. Эквивариантные когомологии. Теорема локализации, теорема Дюйстермаата–Хекмана. Применения: все симплектические действия окружности в размерности четыре гамильтоновы. Условия на числа Черна и эквивариантные когомологии симплектических и почти комплексных действий окружности с малым числом неподвижных точек, а также действий, свободных вне неподвижных точек.
7. Квазиторические многообразия и момент-угол многообразия. Некэлеровы комплексные структуры на момент-угол многообразиях. Стабильно комплексное расщепление касательного расслоения квазиторического многообразия.

Список литературы

1. John W. Milnor and James D. Stasheff. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, 76. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974.
2. В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь. Симплектическая геометрия. Динамические системы 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 4, ВИНИТИ, М., 1985, 5-135.
3. William Fulton. Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematics Studies, 131. The William H. Roever Lectures in Geometry. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.
4. Michele Audin. The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, 93. Birkhauser, Basel, 1991.
5. D. McDuff, D.A. Salamon. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press, April 1995. Second Edition, 1998.
6. David A. Cox, John B. Little, and Henry K. Schenck. Toric varieties. Graduate Studies in Mathematics, vol. 124, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
7. Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. arXiv:1210.2368.
8. M.F. Atiyah, R. Bott. The moment map and equivariant cohomology. Topology vol. 23, Issue 1, 1984, 1-28.
9. Askold G. Khovanskii. Newton polyhedra and toric varieties. Funk. Anal. i Priloz 11 (1977), no. 4, 56-64 (Russian); Funct. Anal. Appl. 11 (1977), no. 4, 289-296 (English translation).

Руководитель
Кустарев Андрей Александрович

Организации
Независимый Московский университет