Целью данного курса является краткое изложение современных методов негладкого анализа.

Особый акцент будет сделан на пространствах Соболева первого порядка на метрических пространствах с мерой. Далее (если останется время) мы рассмотрим понятие метрических пространств с мерой с ограниченной снизу кривизной Риччи в смысле Виллани— Лотта — Штурма.

В течение курса я надеюсь дать панорамный взгляд на основные результаты, полученные в указанных направлениях за последние 20 лет.

Курс будет легко доступен для студентов 3–4 курсов физико-математических специальностей. Предполагается наличие у слушателей знания основ теории меры и интеграла Лебега, а также элементарных свойств банаховых пространств. Остальное я буду по возможности напоминать в течение курса.

Примерная программа курса

• Основы теории меры и интеграла (краткое напоминание). Меры на метрических пространствах. Слабая сходимость мер. Теоремы Прохорова и Улама. Интеграл Бохнера и пространства $L_p$ банаховазначных отображений. Меры со свойством удвоения и их свойства.
• Метрика Громова–Хаусдорфа. Сходимость метрических пространств с мерой с отмеченными точками по Громову–Хаусдорфу и ее основные свойства.
• Липшицевы функции на метрических пространствах. Асимптотические константы Липшица. Верхние градиенты.
• Пространства, допускающие неравенство Пуанкаре. Устойчивость неравенства Пуанкаре относительно сходимости по Громову–Хаусдорфу.
• Свойства самоулучшаемости неравенства Пуанкаре. Теорема Зонга–Кейта.
• Слабые верхние градиенты и пространства Соболева–Чигера. Равенство асимптотической константы Липшица и слабого верхнего градиента для липшицевых функций в случае полных метрических пространств с удваивающей мерой, которые допускают неравенство Пуанкаре.
• Теорема Чигера, обобщающая теорему Радемахера на случай метрических пространств с мерой.
• Кривые в метрических пространствах и тест-планы. Понятие p-модуля семейства кривых, примеры. Подход Амброзио–Джильи–Саваре к пространства Соболева и его связь с подходом Чигера.
• Функционал энергии, его градиентный поток, Лаплассиан. Функционал энтропии и пространства с ограниченной снизу кривизной Риччи в смысле Виллани–Лотта–Штурма с инфинитизимальной римановой структурой.

Руководитель семинара
Тюленев Александр Иванович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва