Одной из задач некоммутативной геометрии является перевод основных понятий анализа на язык банаховых алгебр. В нашем курсе будет приведен целый ряд примеров подобного перевода. Полученные результаты применяются к задаче квантования универсального пространства Тейхмюллера и математической интерпретации квантового эффекта Холла.

Более подробно о содержании курса. В первом разделе мы напоминаем основные сведения о банаховых алгебрах. Главное внимание уделяется здесь коммутативным банаховым алгебрам, поскольку именно работы И.М.Гельфанда, М.А.Наймарка и Г.Е.Шилова по связям этих алгебр с компактными топологическими пространствами легли в основу некоммутативной геометрии. Второй раздел посвящен некоммутативному интегралу на C*-алгебрах, роль которого играет след Диксмье. Он определен на некотором идеале в алгебре компактных операторов в гильбертовом пространстве, содержащем идеал ядерных операторов. В отличие от обычного следа след Диксмье зануляется на идеале ядерных операторов. С ним связано первое применение некоммутативной геометрии, рассматриваемое в курсе. А именно, теорема Конна устанавливает связь этого следа с вычетом Водзицки классических псевдодифференциальных операторов.

В третьем разделе излагается некоммутативное дифференциальное исчисление на алгебрах. Для каждой алгебры с единицей строится универсальная дифференциальная алгебра (кратко: DGалгебра) над ней, являющаяся универсальным объектом в категории DG-алгебр. Наиболее важным примером DG-алгебр служат для нас циклы, т.е. DG-алгебры с интегралом. В терминах универсальной DG-алгебры вводятся понятия связности и кривизны, а также характер Черна. Для его определения естественно использовать язык когомологий Хохшильда, который представлен в заключительной части раздела.

Четвертый раздел посвящен универсальному пространству Тейхмюллера T и его квантованию. Это пространство, возникшее в работах Альфорса и Берса по квазиконформным отображениям, определяется как фактор пространства квазисимметричных гомеоморфизмов единичной окружности по подгруппе Мебиуса дробно-линейных автоморфизмов единичного круга. Квазисимметричные гомеоморфизмы окружности - это граничные значения квазиконформных гомеоморфизмов круга. Название универсального пространства Тейхмюллера T объясняется тем, что оно содержит в себе в качестве комплексных подмногообразий все классические пространства Тейхмюллера. Помимо этого, в нем содержится пространство S нормализованных диффеоморфизмов окружности, т.е. диффеоморфизмов окружности, рассматриваемых по модулю группы Мебиуса. Это пространство можно рассматривать как регулярную часть T. Пространство T допускает грассманову реализацию в виде бесконечномерного диска Зигеля. Переходя к задаче квантования, мы излагаем вначале решение этой задачи для пространства S нормализованных диффеоморфизмов окружности. Его удается получить с помощью классических методов дираковского квантования. Однако указанные методы не работают применительно ко всему пространству T. В этом случае приходится применять другой подход, основанный на идеях некоммутативной геометрии.

В пятом разделе мы занимаемся применениями некоммутативной геометрии к математическому обоснованию квантового эффекта Хола. Вначале излагаются основы классической теории Блоха и ее некоммутативного варианта в присутствии магнитного поля. Для того, чтобы воспользоваться аппаратом некоммутативной геометрии строится C*-алгебра наблюдаемых, связанная с магнитным оператором Шредингера. Коцикл Холла, отвечающий за квантовый эффект Холла, является циклическим коциклом на этой алгебре наблюдаемых.

Финансовая поддержка. Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2019-1614).

Материалы курса (03.04.2020)

Лектор
Сергеев Армен Глебович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)