Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
Цель курса — познакомить слушателей с универсальной алгеброй и её
применениями в изучении семейств логических систем. Содержание курса
можно условно разделить на три части:
I) элементы универсальной алгебры;
II) булевы алгебры и их представления;
III) алгебраическая семантика для неклассических логик.
I. Под (абстрактной) алгеброй понимают произвольную структуру в
сигнатуре, где единственным предикатным символом является равенство.
Многообразиями — от англ. variety; не следует путать с manifold — называют
классы алгебр, аксиоматизируемые посредством тождеств, т.е. равенств
между термами. Например, можно говорить о многообразии всех групп или
колец. В первом приближении универсальная алгебра — наука о многообразиях. Мы познакомимся с основными понятиями и методами универсальной алгебры, применяемыми в логике. В частности, с помощью так называемых свободных алгебр (которые также представляют интерес сами по себе)
мы докажем знаменитую теорему Бирхоффа: класс алгебр является многообразием, если и только если он замкнут относительно гомоморфных образов, подструктур и прямых произведений.
II. Под решёткой понимают частично упорядоченное множество, в котором у всякого непустого конечного подмножества есть супремум и инфимум. На самом деле, решётки можно воспринимать как алгебры. Более того,
они занимают центральное место в универсальной алгебре. Булевы алгебры
— особый класс решёток, играющий важную роль в математике. Мы докажем основные результаты, связанные с булевыми алгебрами. В частности,
среди них будут различные версии теоремы о представлении булевых алгебр, одна из которых устанавливает тесную связь между булевыми алгебрами и особого рода топологическими пространствами. Эту связь называют
дуальностью Стоуна.
III. Известно, что реляционной семантики, также известной как семантика возможных миров или семантика Крипке, нередко не хватает для полной характеризации логических систем: для таких систем нельзя получить
теоремы о полноте относительно реляционной семантики. С другой стороны, практически любая разумная система сильно полна относительно
подходящей алгебраической семантики. Несмотря на то что этот тип семантики является существенно более абстрактным, он оказывается весьма удобен с математической точки зрения, поскольку открывает путь к широкому
применению методов универсальной алгебры. Мы обсудим алгебраические
семантики для (пропозициональных) модальной логики $\mathrm{K}$ и интуиционистской логики $\mathrm{Int}$. Эти семантики индуцируют тесные связи между логическими и алгебраическими свойствами. Например, оказывается, что расширение $\mathrm{Int}$ обладает интерполяционным свойством Крейга тогда и только
тогда, когда соответствующее ему многообразие алгебр является амальгамируемым. Такого рода связи позволяют получать многочисленные яркие
результаты.
Предварительная программа
- Краткий экскурс в классическую логику первого порядка.
- Гомоморфизмы, подалгебры и конгруэнции. Теорема о гомоморфизме.
- Прямые произведения. Прямые и подпрямые разложения.
- Свободные алгебры. Теорема Биркхоффа о многообразиях.
- Решётки. Теорема Кнастера-Тарского.
- Булевы алгебры и булевы кольца.
- Представление булевых алгебр. Фильтры.
- Ультрафильтры и дуальность Стоуна.
- Краткий экскурс в неклассические логики.
- Модальные алгебры и алгебраическая семантика для пропозициональной модальной логики $\mathrm{K}$.
- Гейтинговы (псевдобулевы) алгебры и алгебраическая семантика для
пропозициональной интуиционистской логики $\mathrm{Int}$.
- Применения универсальной алгебры в изучении решёток расширений $\mathrm{K}$
и $\mathrm{Int}$.
Основная литература
[1] S. Burris, H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra. Springer, 1981.
[2] S. Givant, P. Halmos, Introduction to Boolean Algebras. Springer, 2009.
[3] A. Chagrov, M. Zakharyaschev, Modal Logic. Oxford University Press, 1997.
[4] D.M. Gabbay, L. Maksimova, Interpolation and Definability: Modal and Intuitionistic Logics. Oxford University Press, 2005.
 RSS: Ближайшие семинары
 Лектор
Сперанский Станислав Олегович
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
