Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
По самому определению компактное алгебраическое многообразие допускает вложение в проективное пространство подходящей размерности и поэтому естественно наделяется кэлеровой формой — подъёмом относительно такого вложения стандартной формы метрики Фубини - Штуди. Эту форму можно рассматривать как вещественную симплектическую — и тогда имеет смысл говорить о классификации возможных лагранжевых подмногообразий.
Такая классификация естественно зависит от выбора вложения в проективное пространство, то есть от поляризации, и не зависит от конкретной формы в одном и том же классе, поскольку такие формы эквивалентны. Задача классификации имеет несколько уровней:
1) Какие классы из $H_n(X,\mathbb{Z})$ реализуются лагранжевыми подмногообразиями?
2) Какие топологические типы подмногообразий реализуются лагранжевыми подмногообразиями?
3) Сколько имеется классов эквивалентности (с точностью до лагранжевых деформаций) для фиксированного класса и топологического типа?
4) То же самое с точностью до гамильтоновых деформаций.
Несмотря на то, что алгебраические многообразия малых размерностей достаточно хорошо изучены, задача классификации их лагранжевых подмногообразий далека от полного решения даже в базовых случаях. Для самой проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ известно, что:
1) очевидным образом лагранжева поверхность должна быть гомологически тривиальна;
2) реализуются гладкими лагранжевыми вложениями только $\mathbb{RP}^2$ и $T^2$, остальные же пункты не имеют полных окончательных ответов.
Наш курс нацелен на то, чтобы показать несколько методов построения лагранжевых подмногообразий в некоторых алгебраических многообразиях, допускающих действие тора $T^k$ кэлеровыми изометриями. Замечания, положенные в основу этих методов, прежде всего исходят из классического метода характеристик.
Первые примеры, которые мы будем подробно обсуждать, — лагранжевы подмногообразия в $\mathbb{CP}^n$, построенные А.Е. Мироновым. Далее мы перейдем к естественным обобщениям и построим лагранжевы торы и сферы в многообразии флагов $F^3$ (полные флаги в $\mathbb{C}^3$), а также покажем, как обобщенная конструкция Миронова работает в случае грассманиана $\mathrm{Gr}(1,n)$.
Составляя данную аннотацию, автор рассчитывает на то, что в процессе работы мы сможем найти что-то новое (см. программу ниже, особенно п. 10).
Курс рассчитан на студентов, знакомых с основными понятиями симплектической геометрии (например, можно посмотреть первые лекции моего предыдущего круса в НОЦ). Ввиду краткости курса упор будет сделан на геометрическую интерпретацию в ущерб строгим доказательствам.
Предварительная программа
- Алгебраические многообразия с точки зрения вещественной дифференциальной геометрии. Поляризации. Задачи классификации лагранжевых подмногообразий.
- Геометрическая формулировка квантовой механики. Немного о квантовании.
- Действие тора на алгебраическом многообразии. Псевдоторические структуры.
- Многообразие флагов $F^3$, псевдоторическая структура и лагранжевы слоения.
- Комплексное проективное пространство: как заполнить ряд между $\mathbb{RP}^n$ и $T^n$.
- Отступление: (гамильтонова) минимальность лагранжевых подмногообразий.
- Симплектическая редукция и лагранжевы подмногообразия. Первые примеры для $\mathrm{Gr}(1,n)$.
- Примеры лагранжевых подмногообразий в $\mathrm{Gr}(1,n)$ (продолжение).
- Примеры лагранжевых подмногообразий в $\mathrm{Gr}(1,n)$ (окончание). Соответствие Гельфанда - МакФерсона.
- Конструкция Д. Быкова: многообразие флагов как лагранжево в прямом произведении проективных пространств. Возможные обобщения.
 RSS: Ближайшие семинары
 Руководитель семинара
Тюрин Николай Андреевич
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
