Целью настоящего курса является представление основных результатов современной теории оптимального управления для класса задач с бесконечным горизонтом, возникающих в экономике. Основное внимание будет уделено теории принципа максимума Понтрягина для этих задач. Будет обсуждена экономическая интерпретация принципа максимума. Будут доказаны теоремы о существовании сильно оптимального управления и о достаточных условиях слабо обгоняющей оптимальности. Предполагается рассмотреть ряд иллюстрирующих примеров.

Изложение материала в основном самодостаточное. От слушателей предполагается знание основ теории меры и интеграла Лебега, а также теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Желательно знакомство с принципом максимума Понтрягина.

Программа

1. Постановки задач оптимального управления на конечном и бесконечном интервалах времени. Сведение задачи со случайным временем остановки к задаче на бесконечном интервале времени. Примеры: модель Рамсея, модель оптимального инвестирования в основные производственные фонды предприятия, модель оптимальной эксплуатации невозобновляемого ресурса.
2. Допустимые процессы. Условия регулярности процессов в задачах оптимального управления.
3. Сильная оптимальность, конечная оптимальность и слабо обгоняющая оптимальность в задачах с бесконечным горизонтом.
4. Автономная задача с экспоненциальным дисконтированием. Совместимость дисконтирования со сдвигами по времени.
5. Общий вариант принципа максимума Понтрягина для задач с бесконечным горизонтом. Основные соотношения принципа максимума. Условия трансверсальности на бесконечности.
6. Достаточные условия слабо обгоняющей оптимальности для задач с бесконечным горизонтом.
7. Существование сильно оптимального управления в автономной задаче с экспоненциальным дисконтированием.
8. Конечновременные аппроксимации автономных задач с экспоненциальным дисконтированием.
9. Условие доминирования дисконтирующего множителя. Полный вариант принципа максимума Понтрягина для автономной задачи с экспоненциальным дисконтированием в случае доминирования дисконтирующего множителя.
10. Метод динамического программирования и принцип максимума Понтрягина. Экономическая интерпретация принципа максимума.
11. Условие роста. Функция условной стоимости и её дифференцируемость.
12. Полный вариант принципа максимума Понтрягина для общей нелинейной задачи с бесконечным горизонтом в случае выполнения условия роста.

Литература
[1] Асеев С.М., Функция условной стоимости и необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 514 (2023), № 1, с. 5-11.
[2] Асеев С.М., Кряжимский А.В., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН, 257 (2007), с. 5-251, 2007.
[3] Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В., Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // УМН, 67 (2012), № 2, с. 3-64.
[4] Асеев С.М., Вельов В.М., Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // УМН, 74 (2019), № 6, с. 3-54.
[5] Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х., Экономический рост. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
[6] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
[7] Aseev S.M., Veliov V.M., Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Труды ИММ УрО РАН, 20 (2014), № 3, с. 41–57.
[8] Caputo M.R., Foundations of dynamic economic analysis. Optimal control theory and applications, Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
[9] Carlson D.A., Haurie A.B., Leizarowitz A., Infinite horizon optimal control. Deterministic and stochastic systems, Berlin: Springer, 1991.
[10] Dorfman R., An economic interpretation of optimal control theory // American Economic Revew, 59 (1969), p. 817-831.
[11] Ramsey F.P., A mathematical theory of saving // Econ. J., 38 (1928), p. 543-559.
[12] Seierstad A., Sydsæter K., Optimal control theory with economic applications, North Holland, 1987.

Лектор
Асеев Сергей Миронович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)