Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
Какова инфинитезимальная вероятность (по мере Хаара) того, что аргументы собственных чисел унитарной матрицы формата $N \times N$ лежат в
каждом из дизъюнктных бесконечно малых интервалов
$$(\theta_1, \theta_1+d\theta_1),\dots,(\theta_l, \theta_l+d\theta_l)?$$
Формула Вейля для характеров даёт ответ:
$$\det K_N(\theta_i,\theta_j)_{i,j=1,\dots,l} d\theta_1 \dots d\theta_l
, \text{ где } K_N(\theta,\theta')=\frac{\sin\frac{N}{2}(\theta-\theta')}{\sin\frac{1}{2}(\theta-\theta')}$$
— ядро Дирихле. Предельный переход при $N\to\infty$ со скейлингом $\theta=2\pi t / N$
привёл Дайсона к фундаментальному определению: синус-процессом называется мера на пространстве бесконечных подмножеств прямой без точек
накопления, такая, что инфинитезимальная вероятность обнаружить частицу в каждой из бесконечно малых окрестностей
$$(t_1, t_1+dt_1),\dots,(t_l, t_l+dt_l)$$
задаётся формулой
$$\det S(t_i,t_j)_{i,j=1,\dots,l} dt_1 \dots dt_l
, \text{ где } S(t,t')=\frac{\sin\pi(t-t')}{\pi(t-t')}$$
— синус-ядро, ядро ортогонального проектора на пространство Пэли-Винера. Рассматривая вместе с синус-ядром и более общие ядра, мы приходим
к общему определению детерминантного точечного процесса — точечного
процесса, чьи корреляционные функции задаются детерминантами. Возникающие в самых разных задачах — помимо случайных матричных моделей
с унитарной симметрией, например, в асимптотической комбинаторике и
теории представлений бесконечномерных групп — детерминантные процессы допускают, вместе с тем, богатую общую теорию.
Программа
Семинар посвящён обсуждению последних достижений теории детерминантных процессов. Основные рассматриваемые темы:
- Меры Шура и формула Бородина-Окунькова-Джеронимо-Кейса.
- Интерполяция в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром.
- Случайные голоморфные функции.
- Случайные меры и мультипликативный хаос.
 RSS: Ближайшие семинары
 Руководители семинара
Буфетов Александр Игоревич
Горбунов Сергей Михайлович
Клименко Алексей Владимирович
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
