Курс Г. Б. Шабата "Пространства Тайхмюллера" 13 февраля–15 мая 2026 г., МИАН, комн. 530 (ул. Губкина, 8), г. Москва
Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи, зарегистрироваться по этой ссылке.
Предполагается изложить введение в классическую теорию. Полное доказательство основной теоремы — существование и единственность экстремального квазиконформного отображения в заданном гомотопическом классе гомеоморфизмов — будет основано на теории штребелевых квадратичных дифференциалов.
Программа
0. Римановы поверхности (обзор). Определения. Фундаментальная группа. Гомологии и род. Униформизация. Линейные расслоения и дивизоры. Теорема Римана-Роха.
1. Конформные и почти-комплексные структуры. Определения. Геометрический смысл. Взаимно-однозначное соответствие (с учётом ориентации). Действие группы диффеоморфизмов.
2. Дифференциалы Бельтрами. Определение и смысл выражения $\mu\,d\bar{z}/dz$. Норма дифференциала Бельтрами. Подправленный оператор Коши-Римана. Метрики вида $|dz + \mu\,d\bar{z}|^2$. Пространство дифференциалов Бельтрами и единичный шар в нём.
3. Квадратичные дифференциалы. Определяемые ими кусочно-евклидовы метрики, площади и горизонтальные слоения. Штребелевы дифференциалы и разбиения поверхностей на цилиндры. Спаривание с дифференциалами Бельтрами. Аппроксимация произвольного квадратичного дифференциала штребелевыми.
4. Пространство Тайхмюллера. Определение как фактора единичного шара в пространстве дифференциалов Бельтрами по группе диффеоморфизмов, гомотопных тождественному. Касательное и кокасательное пространства. Комплексная структура. Связь с пространством модулей кривых.
5. Задача Тайхмюллера. Постановка задачи об экстремальном квазиконформном отображении данном гомотопическом классе. Существование и единственность решения. Набросок доказательства по Альфорсу. Полное доказательство с использованием штребелевых дифференциалов.
6. Дополнительные вопросы. Метрика Тайхмюллера и её совпадение с гиперболической метрикой. Автоморфизмы пространств Тайхмюллера. Геодезические диски. Частичные компактификации пространств Тайхмюллера.
RSS: Ближайшие семинары
Лектор